352 DEUXIÈME PARTIE.

du 3' degré. En effet, par l’hypothèse c=Q, l’équation [3] devientx' 1 -f - ax 2 -)- bx — 0 , ou bien x 3 -|- ax -}- b = 0 , en faisant abstrac-tion de la racine zéro. Alors la dernière des trois relations ci-dessusdonne R 3 =cé‘-j-3 1 ; donc le cercle passe par l’origine : et comme laparabole y passe aussi, il est évident que c’est à cette intersectionque répond la racine inutile x=0 , qui doit être supprimée.

C’est ici qu’il convient de placer quelques problèmes célèbres,qui ont beaucoup exercé les géomètres de l’antiquité, mais qui nesont pour les modernes qu’un simple jeu d’analyse.

De quelques problèmes fameux chez les anciens.

492. Problème I .Trouver deux moyennes proportionnelles entredeux droites données.

Soient a et b les droites données, x et y les deux moyennes in-connues, on doit avoir

a:x:\x:y, x:y\\y.b-,et ces proportions donnent les équations[1] x 2 —ay, y’=bx ,

qui déterminent deux paraboles. Elles sont représentées fig. 212,et les valeurs de x et y sont x — AP, je—PM. Celte constructiona été donnée par Ménkchme, géomètre de l’école de Platon .

En multipliant les équations [1] membre à membre, et ôtant lefacteur commun xy , il vient xy — ab , équation d’une hyperboleentre ses asymptotes. On peut substituer cette courbe à l’une desdeux paraboles, et on obtient ainsi la construction représentéefig. 213, laquelle a aussi été donnée par Menecdme.

On regarde ces deux solutions comme défectueuses en ce qu’ellesemploient deux sections coniques, tandis qu’une seule, combinéeavec le cercle, peut suffire. En effet, si on ajoute les équations [1],il vient y 2 x*= ay- j- bx ; et si on construit cette équation surdes axes rectangulaires, on a un cercle dont l’intersection avecl’une des deux paraboles détermine les deux moyennes x et y.Voyez la figure 214.

On peut également employer le cercle avec l’hyperbole : cettesolution était connue d’AppoLLomus.

Solution de Dioclès . C’est pour résoudre le problème des deuxmoyennes proportionnelles que Dioclès avait imaginé la cissoïde.Soit (fig. 215) une cissoïde décrite au moyen d’un cercle quelconque