GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 351

Ainsi, on peut prendre (3 arbitrairement pourvu que 11’soit po-sitif; et alors on aura un cercle dont l'inicrscclion avec la liguedes x déterminera les racines de l’équation [1].

490. Soit à construire l’équation du 3 e degré,

[2] x 3 -\-ax-\-b = 0 .

D’abord on peut la remplacer par celles-ci,

y—xi 3 , y -}- ax -|- b = 0 :

de sorte qu’après avoir construit la courbe^ =x 3 , il n’y aura plusqu’à construire une ligne droite. Et remarquez que la même courbepeut servir, quels que soient les coefficients de l’équation [2],

Mais il est facile d’éviter les lignes supérieures au second ordre.Par exemple, à l'équation [2] on peut substituer les suivantes :ky = x*, kxy -\-ax-\-b=0.

Or celles-ci représentent une parabole et une hyperbole. Commele paramétre de la parabole est arbitraire, on peut employer tou-jours la même parabole ; mais l’hyperbole doit être différente danschaque cas particulier de l’équation [2]. *

Enlin regarde-t-on comme plus simple de faire usage de la para-bole et du cercle? on le peut encore, et c’est ce qu’on verra à lafin du numéro suivant.

491. Considérons encore l’équation du 4 e degré,

[3] x'-j-ax* -\-bx-\-c=0-,

et, laissant de côté les différents systèmes de lignes auxquelles onpeut recourir, détcrminons-cn les racines par les intersections d’uneparabole et d’un cercle. A cet effet, prenons les équationsky—x\ {x—aY + (y — |3) a =R 2 .

En éliminant y, il vient

_|_ /.(/,_ 2[3 ) je' —aA’otr+(« + §’ — R a ) A a = 0.

Or, celte équation devient identique avec [3] en posant

*(* —2j3)=fl, <2k' a = — b, (a a +(3 — R a )*’=C:on a donc ainsi trois équations entre les quatre quantités arbi-traires k, a, (3, R ; par conséquent on peut disposer de l’une de cesquantités, et déterminer ensuite les trois autres. Alors on connaîtraune parabole et un cercle dont les intersections auront pour ab-scisses les racines réelles de l’équation [3].

Cette solution comprend comme cas particulier celle de l’équation