GÉOMÉTRIE AM.U.YTIQPE A DKÏ’X DIMENSIONS.

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Tln'orème rom:r.juab!o de M. Calcul.

502. Je vais reproduire ici l'énoncé de ce théorème, tel qu’il setrouve dans mes Leçons d’Algêbrf, , 3' édition; et de plus j’y join-drai la démonstration qu’en ont donnée MM. Sturm et Liodville.Elle est extraite du Journal de Mathématiques publié par cedernier géomètre.

Soit f{z) =0, une équation algébrique de la formeAa"+ Bs m -‘+Cs”‘'- 3 + etc. =0

O

dans laquelle A, 1 ! ,C, sont des quantités données , réelles ou ima-ginaires. Si on remplace s par x -\-y[/ —1, f \ï) prendra la formeP t-Ql/—1, 1* et Q étant des polynômes en xetj-, qui ne con-tiennent point l/— I. Pour résoudre l’équation f[z) =0, il fauttrouver les valeurs réelles de x et y qui peuvent annuler à la foisP et f).

On peut regarder x et.?' comme l’abscisse OP et l’ordonnée MPd’un certain point M; et lorsqu’on pro-pose de résoudre l’équation f[~)— 0, laquestion revient à chercher les points dontles coordonnées sont telles qu’en les sub-stituant à la place de x et.?', l’on ait à lafois P=0, Q—-O. Ces poiuts sont en quel-que sorte une représentation géométriquedes racines de l’équation, et, pour abréger,j’appliquerai le nom de racines à ces points eux-mémes. Si l’or-donnée y est zéro, le point M est placé sur l’axe des abscisses,et alors la racine est réelle.

Traçons dans le plan des coordonnées x et.?- un contour ferméquelconque A11C1). On peut 'demander si, dans 1 intérieur de cecontour, il y a des points pour lesquels P et Q sont nuis à la fois,et combien il y en a : ou , plus brièvement, on peut demandercombien, dans l’intérieur de ce contour, il y a déracinés de l’é-quntiin f.z) — 0. Pour résoudre cette question, M. Cait-iiy adonnéle théorème dont il s'agit et qui s’énonce comme il suit.

P

Considérez le rapport — = R , et supposez qu’il n'y ait sur le

contour aucun point pour lequel P et Q soient zéro en meme temps :pour chaque point de ce contour, le rapport R aura une valeur