302 DEUXIÈME PAI1TTE.
déterminée. Si l'on suit le contour ABCD à partir d’un pointquelconque A en avançant toujours dans le même sens ABCD jus-qu’à ce qu'on revienne à ce même point A , le rapport R prendsuccessivement diverses valeurs, et il pourra changer de signe enpassant par zéro si P devient zéro , et par Vinjini si Q devient zéro.Soit i le nombre défais que ce rapport, en s'évanouissant et chan-geant de signe , passe du positif au négatif; soit i' le nombre defois que ce même rapport, en s’évanouissant et changeant de si-gne , passe du négatif au positif: le nombre i ne sera jamaismoindre que i' et la différence i—i' sera double du nombre desracines contenues dans l’intérieur du contour ABCD. Ainsi, endésignant par y. le nombre de ces racines , et par S l'excès i—i', ondevra avoir a = j A.
Le théorème de M. Cauchy consiste dans l’égalité f* = ;A; c’estdonc celle égalité qu’il s’agit de démontrer. Dans ce théorème, onsuppose qu’en aucun point du contour P et Q ne sont zéro à la fois.Il est essentiel aussi d’observer qu’on n’y doit tenir aucun comptedes changements de signes que peut éprouver le rapport R en pas-sant par l’infini, et qu’on ne fait aucune attention au cas où ce rap-port devient zéro sans changer de signe.
503. Le théorème est évident si, dans l’intérieur du contour etsur le contour même , on n’a jamais P = 0 : alors en effet on afi = 0, A=0, et par suite u— fA.
Cette égalité est encore satisfaite lorsque, dans l’intérieur ducontour et sur le contour même, on n’a jamais Q =0. Alors lenombre y est encore zéro, et je vais prouver qu’on a aussi A = 0.En effet, le rapport R, quand on aura fait un lonr entier pourrevenir au point de départ, devra reprendre le même signe qu’ilavait d’abord, au commencement du mouvement; donc, à la fin,' il aura passé autant de fois du positif au négatif que du négatif aupositif. En outre, à chaque changement de signe, R aura dû s’é-vanouir, puisque le dénominateur Q est supposé ne pouvoir pasdevenir zéro. Ainsi, dans le cas dont il s’agit, la différence A=0;donc l’égalité y = t\ est satisfaite.
50i. Considérons maintenant un point M dont les coordonnéesa et b satisfont à la fois aux équations P = 0 et Q = 0, ou, ce quiest la même chose, que la valeur s = «-f-èl/—1 soit une ra-cine , simple ou multiple, de l’équation f(z) — 0. Traçons autourdu point M un contour convexe : si pour chaque point N, de ce