31>S m.trxiKMK imrfie.

comprises dans l’inlérieur de ce cercle. Soit a un rayon quelconquede la circonférence, et w l’angle de ce rayon avec la ligue des x ,on aura x—a cos w et y — ? sin « ; donc

Si. x +J , 'I/— 1 ) — A?” [cos/«m -)- [/—l sin nia ]

-f-11?”“ [cos [m — 1 )',>+ (/"—i sin [ni —1 )o>] +etc.Chacun des ^coefficients A, ]!,.. peut être mis sous la formeH(cos a+l/—1 [sina), et par suite ce dévcloppemenlpourra s’écrireainsi :

V '—{ COS (/lia -)- 2 ) + \y — i sin (//îw + x ) ')-j-II,?" 1 ' { COS [(/H'- 1 ) W + a,]+- [/ - 1 sin [(771 - 1) M-f-Z.] }

+ etc.,

ce qui donne, pour P et Q,

P — U? COS[7/l» + 7.] + II 1 ? m-1 cos[ (7/1 — 1 } w —x, J -)- etc. ,

Q = II sin [//i « + a] + IJ, p ™ sin [{/?i — 1) &> x, ] etc.,

ou bien, sous une autre forme, en employant l’angle auxiliaire),comme aü n° 505 , et en désignant par Sla somme H, + II a +c(c.,

w COS(/Mm + Sc) S")

' ( S X cos) + s J’

Q=s,-(i^üx Ü^±2+Çl.

1 ( b sin ) S ;

Nous supposerons que le rayon p ait été pris plus grand que la plus

grande des trois quantités 1

S S’ IIcos)’ Ilsin)’

Alors on voit que le

signe de P sera semblable à celui de son premier terme toutes leslois qu’on aura cos (//i« + a)+cos) ; et de même le signe de Q seracelui de son premier terme toutes les fois qu’on aura sin(//iw + ;<)>■ sin). C’est pourquoi je considère la suite des arcs

), II — ), 11 + ), 211—), 2H + ). 2771 II—), 2 w N + ) ;

et en raisonnant comme au n° 50C , on reconnaîtra que le nombreA—2//i ; donc ;jl= 771 ; donc Y équation proposée a m racines et nona point davantage.

510. Je n’expliquerai pas ici comment on peut connaître l’ex-cès A pour un contour donné : sur ce point je renverrai au Jour-nal de Mathématiques de M. Liouvim.e , août 1830.