GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS

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CHAPITRE XVII.

QUELQUES QUESTIONS CHOISIES

511. Problème I. Trouver /’ équation d’ime section conique quipasse cinq points donnés.

Choisissons les axes de coordonnées de manière que chacun d’euxcontienne deux des points donnés, et désignons par y et y' les or-données des points A et 11 (fig. 230) situés sur la ligne desj, par xcl x" les abscisses des points G et D situés sur la ligne des x , par x"'et y" les coordonnées du cinquième point E.

On exprimera les conditions de la question en substituant suc-cessivement les coordonnées de chacun de ces points, à la -placede x et y, dans l’équation générale[A] j\y 4- Bxy 4- Gx’ 4- Dr 4- Ex 4 - F=0.

De cette manière, on a les cinq équations

V’ 4-d/4-f=o, A/' j 4-Dy'4-F=o,

Cx” 4-Ex'4-F=0, Cx"’* 4~ Ex" 4 - F — 0,

Ay " J 4- Bx"'y"4- Cx'" a 4- d/"-}- Ex"'+ f=o.

Les inconnues du problème sont les coefficients de l’équation [ARParmi eux il y en a toujours un qui reste arbitraire : supposons que. ce soit F, divisons toutes ces équations par F, et on trouve

A 1 D —y—.r" C 1 E — x'—x''

F~Jÿ 7 ' F - yy'* ’ F x'x"’ F x'x" ■

B__1 ( fif-r"-/) , x"'(x'"—x"—x') ,

f x"y"v yy ^ x'x" + 7

En divisant aussi l’équation [A] par F, et remplaçant alors lescoefficients par ces valeurs, on obtient l’équation demandée.

Si, parmi les points donnés, il n'y en a pas trois en ligne droite,aucune des quantités x, x", y, y, x'", y", n’est zéro ; donc lesrapports précédents ne sont ni infinis ni indéterminés. D’ailleurs,chacun d’eux n’a qu’une seule valeur ; donc, par cinq points ,quand il n’y en a pas trois en ligne droite , on peut toujours fairepasser une section conique , mais on n’en peut faire passer qu’une.

512. La condition de passer par deux points peut être remplacée

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