DEUXIÈME PARTIE.

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Ai' 1 , et que SUS' soit la position correspondante de l’autre angle,la ligne BS sera tangente à la courbe, au point B.

518. Problème 111. Décrira par points, ou d’un mouvementcontinu, une section conique dont on donne cinq points; puis dé-terminer géométriquement le genre et les éléments de cette courbe.

Par le problème précédent, on a appris qu’en faisant tournerdeux angles autour de leurs sommets, de manière que deux côtésaillent toujours se couper sur une droite donnée, l’intersection desdeux autres côtes décrit une section conique qui passe par les som-mets des deux angles. Il est clair que cette manière d’engendrer lacourbe permet d’en construire autant de points qu’on veut, oumême de la tracer par un mouvement continu.Ils’agit donc de déter-miner les deux angles et la directrice, de telle sorte que la sectionconique passe par les cinq points donnésA, B, C, D, E (fig. 234).

Menons la droite x'x par deux de ces points, A et B ; joignonsAC, BC, et prenons CAx' et CBx' pour les angles mobiles. Mainte-nant faisons tourner ces angles pour amener les côtés AC, BC,d’abord en AD, BD , ensuite en AE , BE ; et supposons que lescôtés Ax', Bx', viennent se couper en L après le premier dépla-cement, et en L' après le second. Tirons la droite LL', et prenons-la pour directrice.

D’après la construction, il est évident que si les angles tournentautour de leurs sommets, sans que les côtés Ax' et B.r' cessent dese rencontrer sur la droite LL', l’intersection des côtés AC et BCdécrit une courbe qui passe aux points C, D, E. Nous savons d’ail-leurs qu’elle est une section conique, et qu’elle doit passer aussien A et en B. Cette courbe satisfait donc à la question; et elle estla seule qui y satisfasse, car on ne peut faire passer qu’une seulesection conique par cinq points (511).

519. Tour connaître le genre de la courbe, rappelons qu’on saittrouver ses tangentes en A et B (517) ; remarquons aussi qu’il estpermis de prendre le point C, au lieu de B, pour sommet de l’undes deux angles, et qu’alors on peut trouver la tangente en C: Soientdonc ( Gg. 235) AG, BG, Cil, cts trois tangentes dont la premièrecoupe les deux autres en G et en II. En général, les tangentesmenées à une courbe du second ordre, par les extrémités d’unecorde, vont rencontrer au même point le diamètre qui passe aumilieu de cette corde : donc, si par les milieux P et Q des cordes ABet AC, et par les poiuls G et II, on mène les droites GG' et IHi', on