GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS.

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et il n’y a plus qu’à éliminer entre elles les variables x' et y pouravoir l’équation du lieu cherché. Ce lieu est une courbe du secondordre, car le résultat de l’élimination est une équation du seconddegré, savoir :

{[a—b) a— (a* + 1) ^y-f {[a—b) à+ù (a—«) ‘-^x 1{[ab — \)z-\-a-\-by^xjr—(^ («ù + l) acl— b {a <-f 1 )— b)ud-\-b{x — a) ^-^x — O.

516. Cette équation est trop compliquée pour qu’on reconnaissefacilement si elle est susceptible de donner chacune des trois courbes-Mais voici un cas particulier qui c*t assez remarquable, et qui lèvetous les doutes.

Prenons la directrice LL' perpendiculaire à AI3, l’angle PAR'= 90°, et l’angle SlîS'=0 : il faudra faire a — so t <i = oo, b = 0.Mais avant d’introduire ces hypothèses dans l’équation, il fautpréalablement la diviser par za. I)e cette manière il vient

(j3—— dpx—0 :

équation qui, toute particulière qu’elle est, peut encore repré-senter les trois courbes. Pour en déduire une parabole, il faut ladiviser par d et faire ensuite d= =o.

517. Revenons à l’équation générale. Elle eslsatisfailc par .r =■■(),y = 0, et cela prouve que le point A appartient à la courbe. Ouaurait pu mettre l'origine des coordonnées au point R, et l’on eûttrouvé alors que la courbe passe aussi par ce point.

On peut reconnaître, d’après l’énoncé, que la courbe passe en Aet R , et même déterminer la tangente à chacun de ces points. Eneffet, parmi les positions que peut prendre l’angle SRS', il y en aune où ES est couché sur Bx', comme le représente la fig. 232.Soit RAR.' la position correspondante de l’autre angle : il est clairque RA et SB se coupent alors au point A; par conséquent cepoint est sur la courbe. On voit en outre que la ligne Alt doit êtreune tangente, car elle peut être considérée comme, une sécante dontdeux points d’intersection sont réunis en un seul.

Tout ce qu’on dit du point A s’applique au point R. Aiusi, ensupposant (iig. 233) que l’angle RAIV ait le côté AU appliqué sur