GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 377

En substituant dans l’équation [1] les valeurs de c, d, cos 9, ilvient, pour la courbe cherchée,

y'* x* («’sin’a-j-è 2 cos 2 z)

^ a'sirr’z-}- Zrcos’a aW (_

2 oc y'{a — b) sinacosa l —

ab\/a‘ï>m 1 'j.yb'‘cQs i 'j. j

Pour comparer plus facilement cette courbe avec l’ellipse don-née, rapportons aussi cette dernière aux lignes AR et AR'. Quandelle est rapportée à ses axes BB', CC', son équation est

[e] aY+b\v’‘=.a i b\

Les formules par lesquelles on passe des coordonnées rectangulairesaux coordonnées obliques de même origine, sont

x =.r'cos a -j-j-'cos a', y — .r'sin a -f-^'sin a.

Par a'on représente ici le même angleBAR' que plus haut, maisa =3G0° — BAR ; de sorte que si on veut continuer à désigner BARpara, il faut changer «en 360“—a dans les formules précédentes.Alors cosa ne changera pas,sina deviendra — sina; et, en rempla-çant ensuite sina' et cosa' par leurs valeurs, on aura

, rtv'sina

x— X COS a-] - - ■ ■ - .

[/V sin'a-j-è' cos'a

. . . by COS a

y = — ,rsinz-|- ■ ■ — .

[/ à 1 sinV. -f- b‘ cos 1 a

En effectuant la substitution de ces valeurs dans l’équation [e], ontrouve un résultat identique avec l’équation [2] ; donc la courbecherchée n’est autre que l’ellipse donnée.

523. Problème YI. Étant donné un angle yOx (tig. 243), et deuxpoints A et B sur les cotés de cet angle, onfait mouvoir une droiteST ; de manière que les lignes OA et OB soient toujours coupéessuivant la proportion AP : PO::OQ : QB. Les intersections conti-nuelles de la droite ST avec elle-même, considérée dans ses posi-tions successives, déterminent une courbe à laquelle ST est tou-jours tangente, et dont on demande l’équation.

Divisons AO et OB en m parties égales, m étant un nombrequ’on pourra supposer aussi grand qu’on voudra ; prenons les dis-tances AP et OQ composées, chacune, d’un nombre n de ces dm-