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un maximum; et on a vu aussi que la longueur L est précisément ce maxi~mum.Ot, il est facile de déterminer par des formules la grandeur et la direc-tion de L, quand on connaît 1,1',... etles angles de ces droites avec les troisaxes rectangulaires.En effet, désignons ces angles par «, /S, y, y', etc.,on aura

p~l cos. 1 , />' = /' coso.', etc.qz=l cos jî, q'=zl' cos/é', etc.r — lcosy, r'=l'c.osy', etc.

donc

P™/ cos a.-}-/' cosa'-j- etc.

Q ~l cos,3 -f- V cos/î'-f etc.

R — / cos^. -j-P cosy'-f etc.

Ainsi, les trois projections P, Q, R, de L, sont connues.

En nommant , q>', <f", les angles inconnus de L avec les axes, onsait que

Lcos^> = P, Lcosq/— Q, Lcos<f"=;R;et d'ailleurs, par le n° 52g, on a aussi

- I/^P’+Q’+Rh

De ces quatre égalités on tire

- P Q R

L = \/P A + Q'+R', cos<f=r-, cos<p'=—, cosq/'= —-.

L li L

Rapremière formule donne la grandeur de la ligne résultante, et les troisautres en déterminent la direction- Toutefois, il faut se rappeler que ,les projections sur des axes parallèles étant égales , ces déterminationsne font pas connaître unaxe unique, mais bien une infinité d’axes parallèlesentre eux.

532. Revenons au parallélépipède (fig. 4) dans lequel OG est une droitedonnée, et OA, OB, OC, les projections de cette droite sur trois axesrectangulaires. Si «n projette ces trois arêtes, ou leurs égales OA, AD,DG , sur une droite quelconque OV, il est évident (5a6) que la sommede ces projections sera égale à la projection de OG sur la même droite.Donc, quand ou connaît les projections d’une droite sur trois axes rectangulaires,on aura sa projection sur un axe quelconque, en projetant ces trois projectionssur cet axe, et enjaisant la somme de ces nouvelles projections.

Pour mettre cet énoncé en formule, supposons, comme plus haut, queles projections d’une droite/, sur les trois axes, soient/?, q, r, nommons s saprojection sur le nouvel axe, et v, les angles de cet axe avec les axesrectangulaires : on aura, par ce qui vient d’être dit,

[<i] s =p cosa+z cos/?-)- r cos r.

En général, la somme des projections de tant de droites qu’on voudraest toujours égale à la projection de leur résultante, quels que soient lesaxes de projection (526); et de là il suit qu’on peut étendre la formule^]à un nombre quelconque de droites. Ainsi, P, Q, R, étant les projections