GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 3S3

3° Celte somme reste la même pour tous les axes qui font avec la résultantedes angles égaux.

Remarque. On peut étendre ce qui précède à un système de droitesdisjointes. Mais alors il faut concevoir ccsdroites transportées parallèlementà elles-mêmes bout à bout, de manière qu'elles forment une portion depolygone; et on prend pour résultante la droite qui achève le polygone.

Relations qui résultent des projections faites sur différents axes.

529 . Soit OG (fig- 4) «ne droite donnée, eL soient OX, OY, OZ, trois axesperpendiculaires entre eux ; si par le point G, on mène des plans paral-lèles aux plans YOZ, XOZ, XOY, on forme un parallélépipède rectangledont OG est la diagonale , et dont les arêtes contiguës OA, OB, OC, sontles pojections de OG sur les trois axes. Or, le carre de la diagonale du pa-rallélépipède est égale à la somme des carrés des trois* cotés contigus ; doncla somme des carrés des projections d’une droite , sur trois axes rectangulaires ,est égale au carré de cette droite.

Pour convertir cet énoncé en formule , on fera OG — Z, OA=/ 7 , OB=<?,OC = r; et on aura

[3] p*+q*+r*=P.

530. Si. on suppose OG=i, il est évident que OA = cosGOX,OB = cos GOY , OC = cos GOZ ; par conséquent, en nommant a , (Z } y, ccstrois angles, il vient

[4] cos a *4-cos a /2-f-cos 3 ^ = i .

c’est-à-dire que les angles d'une droite avec trois axes rectangulaires doiventtoujours être tels , que la somme des carrés de leurs cosinus soit égale à l’unité.

53 1 • Maintenant prenons un système de droites/, /', /",., qui peuvent

être consécutives ou disjointes; nommons L la résultante, et supposonsqu'on projette /, V, Z",...; sur trois axes rectangulaires. Si on ajoute les pro-jections faites sur un même axe, on aura trois sommes qui devront être res-pectivement égales aux projections de L sur les mêmes axes ( 526 ). Par con-séquent, si on nomme P, p,les projections de L,/, sur le

premier axe; Q, < 7 , les projections sur le second; et R, r, r 1 ,,... les

projections sur le troisième, on aura

p~\-p'-\r — Pt q + q 1 Q, r-J-r'-}- ... =R.

Or, P’+Q’-fR^L’^ag) ; donc

[5] Cp+// + ...)’ + (2+3'+.») a +( r +rM-0 1 = L ! '.

Les trois quantités r+» ,/ +..., changent en même

temps que les axes rectangulaires; mais l'égalité précédente prouve que lasommes de leurs carrés est une grandeur constante , égale au carré de la résul-tante , quelle que soit la position des trois axes rectangulaires.

On a remarqué (5a8) la direction de la résultante L comine étant pa-rallèle aux axes sur lesquels la somme des projections du système!, est