386 TROISIÈME PARTIR.

convaincra en remarquant que le parallélépipède est déterminé quand onconnaît les trois côtés x , y, z, et les trois angles A, /a, y ; donc alors ladiagonale / et les angles a., fc, ■}■, sont aussi déterminés ; or : pour cela, il nefaut que quatre équations.

535. Éliminons a, y, entre ces équations ; et, à cet effet, multiplionsla première par l, et remplaçons ensuite /cosa, / cos/2, / cosj, par leurs va-leurs : il vient 1 :

[il] /’—a-’+j’-f z^+2xy COSX+ '2XZ COS/a+ 2/S cos y.

Cette formule fait connaître la diagonale du parallélépipède.

On y parvient encore d'une autre manière. Menons OU; et le triangleO DG donne OG’ ou

/' = OD’-fs’-fîs.OD.cosCOD .

Mais, d'une part, le triangle OAD donne 01.)’= ur-|-j’-f 2 .rycos >. ; et,d'autre part, le produit ODXcosCOD, cxpiimant la projection de ODsur OC, doit être égal à la somme des projections de OA et AD sur la mêmedroite OC ; donc ODXcosCOD = •rcos ( u+.y côs y. En substituant ces valeurs 1de OD’ et de ODXcosCOD dans celle de /', on retrouve la formule [n],

536. Si on veut avoir, entre les angles formés par une droite avec troisaxes obliques, la relation analogue à celle du n° 53o, il faudra éliminer

x y z.

I, x, y, z, ou plutôt les rapports — , — , ~, entre les équations [to].

Que si on veut connaître l'angle de deux droites en fonction de ceuxqu'elles font avec les axes obliques, on fera la projection du contourx-\-y- J- z, et celle de OG ou /, sur une autre droite OV; puis on égalerales deux expressions. En posant VOX = a', V0Y=/2', \OZ—y',GOY— 9,on aura cette nouvelle équation

/ cos 9 = x cos cz'+y cos ft '-f z cos y ',

dans laquelle il n'y a qu’à substituer les valeurs de x, y, z, tirées des équa-tions [io] : le facteur / disparaîtra de lui-même , et on aura cos 9. Je laissele lecteur faire lui-même le calcul.

Projections superficielles <Jea aires planes.

53;. Si, des differents points du contour d’une ligure pleine, on abaissedes perpendiculaires sur un plan , on formera sur ce plan une autre figurequi est la projection de la première.

Prenons d’abord un triangle dont un coté soit parallèle au plan sur le*quel on projette : on pourra, sans que l'étendue de la projection soit alté-rée, supposer que ce plan a été transporté parallèlement à lui-même demanière qu'il contienne le côté qui lui était parallèle. Soit donc ABC(%.C>)un triangle dont un côté EC est situé dans le plan de projection UV : abais-se/, AA'perpendiculaire sur ce plan , et A'EG sera la projection du triangle.iMenez A'11 perpendiculaire sur EC , et tirez Ail. La ligne AU est aussi