GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 387

perpendiculaire surBC, et par conséquent l'angle AH A' mesure l'inclinaisondu plan AUC sur le plan UV : nous désignerons cet angle par <p.

Cgla posé, les deux triangles A'BC et ABC ayant même hase, sont entreeux :: A'II : Ail. Mais le triangle AA'H étant rectangle, ce rapports cos ;

A'BC „ ,

donc —— = cos«, d’où A'BC =: ABCXcosABC

Quelle que soit la position du triangle ABC (Sg. 7 ), on peut toujours sup-poser que le plan de projectionUV passe par l’un des sommets, B. Soit A'BC'la projection du triangle ABC , prolongez AC jusqu'à son intersection Davec le plan UV : le point D sera sur la ligne A'C', et les triangles A'BD,C'BD, seront les projections de ABD et CB1). D'après ce qui précède, on adonc A'BD = ABD X cosep, C'BD = CBD X cos<p; et par conséquent , enprenant la différence , on aura A'BC' = ABC X cos <p.

On passe de là aucasd'un polygone en décomposant ce polygoneen trian-gles. Si on nomme T, T', T",... ces triangles, et t, t', t'',. . leurs projections,ona < = Tcosif, t'=T'cos<p,...; donc, en ajoutant, il vient]

t+t'+t" i-... = (T+T'+T"+...)cos<;,.

Or, la somme T+T'+T"+... est égale au polygone, et la sommeest égale à sa projection ; donc, si on désigne ces deux surfacespar A et a , on aura

[ 13 ] a = Acosç.

Ce résultat s’aplique aussi à une aire plane terminée par des lignes cour-bes ; car ces lignes peuvent être considérées comme des polygones d'une in-imité de côtés. Donc, en général, la projection d’une aire plane, sur un plan,est égale au produit de cette aire par le cosinus de l’angle des deux plans.

538. La relation précédente est la même qu’entre une droite et sa projec-tion sur un axe (5u5); et, d’un autre côté, on démontre facilement par lagéométrie que deux droites perpendiculaires à deux plans font entre ellesun angle égal à celui des plans ; de là résulte la conséquence qui suit. Diffé-rentes aires A, A', A",... étant situées dans des plans quelconques, si onélève des perpendiculaires à ces plans , si on prend sur elles des partiesKl'i /",... proportionnelles aux aires A, A', A",..., et si 011 projette en mêmetemps toutes ces aires sur un plan, et toutes ces droites sur un axe perpen-diculaire à ce plan, les projections linéaires auront entre elles les mêmesrapports que les projections superlicielles.

53t). Dès lors une autre conséquence bien remarquable se présente encore.C’est que les recherches relatives aux projections des aires planes peuvent seramener à des recherches tout à fait semblables dans, lesquelles on substi-tuera, aux aires et à leurs projections , des droites qui leur soient perpendi-culaires et proportionnelles.

Ainsi, qu’on veuille connaître le plan sur lequel la somme des projec-tions de plusieurs aires est un maximum ; je formerai une portion de poly-gone dont les côtés soient respectivement proportionnels et perpendiculairesà ces aiies. La droite qui ferme le polygone, et que nous avons nomniée la