400 TROISIÈME PARTIE.

l'équation du plan cherché. Pour tjue ce plan passe par les trois points, ilfaut que son équation soit satisfaite par les coordonnées de chacun «l eux ;donc on doit avoir

Ax'+B/+(V=D, Ax"+B/'-fCz"=D, Ax"'+B/"+Cz"' = D.

En divisant ces équations par D , les inconnues qu'elles contiendront serontles rapports de A, II, G, à 11 ; et elles feront connaître les valeurs de ces rap-ports. Désignons ces valeurs par A', B', G',, on aura

A = A'D, B = B'D, C = C'D;

et par suite l’équation [t] devient, apres substitution et simplification ,A'x+B>+C'* = l.

568. Problème V. Par un point donné , mener un plan parallèle à un plandonné. •

Soit [l] A a- f B/ -f Cz-f-D a= 0 .

l’équation d'un plan donné ; et[a] A'x-f- B'/+ C'z-f- D' =: o,

celle d'un plan parallèle.

En général, les intersections de deux plans parallèles par un troisièmesont parallèles entre elles ; par conséquent les traces des deux plans sur leplan de xz doivent être parallèles, et leurs traces sur le plan de ys doiventaussi être parallèles. Les équations de ces traces sont

Ax+Cz-|-D = o, A'x-|- C'x-|-D' = o, surleplnndexz;

By-f Cz-j-D = o, B'/-fC'z-f D' = o, sur le plan de yi ;

et, pour que les deux premières soient parallèles entre elles, et les deuxdernières parallèles entre elles, on doit avoir

A' _ A_ B' _ B b|cn £ B' _ C

G ' ~ G ’ C' _ G ’ °“ ‘ Cn A ~ Il _ G

Quand les plans rencontrent l’axe des s , ces conditions suHisent pourqu'ils soient parallèles; car alors les traces du premier plan sc coupent surTaxe des z, et sont parallèles à celles du second pian, IcsqucHes sc coupentaussi sur cet axe. Or, quand deux angles ont leurs côtés parallèles, on saitque leurs plans sont parrallcles.

Mais si les deux plaDS sont parallèles à Taxe des z f ce qui revient à sup-po5erC-=o etC' = o, la seule condiAou à remplir, c’est que les traces surle plan de xy soient parallèles, ce qui exige

A' _ A A 7 _B'

Tr ~ïï ou b'

Ainsi, dans tous les cas, pour que deux plans soient parallèles, il faut et il suffitque les coefficients des variables x, y, z, dans les équations de ces plans , soientproportionnels.

Supposons ccs conditions remplies, et faisons —zzzk : on aura A'—AA*

A