GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 401

B'= BA, C'=CA ; pais, en mettant ces valeurs dans l’équation [a], divisantpar k, et posant D"A = IV, il vient

Ax + Bj- -f Ci + D"= o.

Cet|f équation représente tous les plans parallèles à celui de l'équation [i],et elle ne diffère de celle-ci que par le seul terme constant D".

Jusqu'ici D" est resté indéterminé : mais si on veut que le plan paral-lèle passe par un point donné dont les coordonnées soient x, y, t, on doitavoir

Ax'+B/+ Cs'+ D" = o;

et, en retranchant cette équation de la précédente , on a, pour le plancherché,

A(x—x') + B(/— y') + C(s — z') = o.

Si le point donné est l'origine, il faut faire x'= o, y'— o, z'= o, et l’on a,pour le plan parallèle,

Ax -1- B/ + Cz = o.

56 Q. PaontÈME VI. Faire passer un plan par un point et par une droite donnés.Soient x', y', z', les coordonnées du point ; soient[l] x—az + a, yz=bz + 0,

les équations de la droite donnée ; et soit[a] Ax + By + Cz + D = o

l’équation du plan cherché.

La condition de passer par le point donné est exprimée par

[3] . Ax'+B/+Cz'+D = o.

Celle de contenir la droite exige qu’en mettant dans l'équation du plan lesvaleurs de x et de y, tirées des équations de cette droite, l’équation résul-tante soit vérifiée, quelle que soit la coordonnée z. Or, par la substitutionde ces valeurs, il vient

(Au + B4+ C)z + A* + B/3 + D = o ;

et, pour que cette égalité ait lieu sans aucune détermination particulièrede z, il faut poser

[4] Aa-f B4 +C = o,

t 5 ] -Aa-b Bj2 + D=o.

Toutes les conditions du problème sont donc renfermées dans les trois équa-tious [3], [q], [5],

En éliminant D entre [3] et [5], il vient

A(x'— «) + B (y'-/é) + Gs'=o;et en combinant cette équation avec [4], on trouve facilement

A _ C (x'- az'~ a) C

A(x'-a) - o (y'-t)' b(. r'- a)-a (/-/*)'

Mais 1 équation [ 2 ], si ou en retranche l’équation [3], devientA (x - x») f B(.y-y') + C(z- *0= o I