GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 413

et, en substituant ces valeurs dans la formule qui donne l'angle de deuxdroites (58 1 ), il vient, pour l'angle des plans ,

AA'+BB'+CC'

cos V— —— - —— .

l/A'+B 5 +C a \/K”+W'+Q n

588. Tour que les plans soient perpendiculaires entre eux, on doit avoircos V= ô, c’est-à-dire,

A A'+BB'+CC'= o.

58g. Tour que les plans soient parallèles, on posera cosV=I, ce qui donne

l/A’+B'+C 1 [/A n +B'’+C ,:, =; AA'+BB'+CC';d'où Ton déduirait, en raisonnant comme dans le n° 583 ,

A _ B __C_

A' B' _ C' '

590 . Les angles d’un plan avec les plans des coordonnées étant les memesque ceux d'une perpendiculaire à ce plan avec les trois axes, on aura, pourl'angle de deux plans, comme pour celui de deux droites,cos V = cos a. cos a'+cos^ cos /Ê'+cos y cos y',a., jë, y, et «', £', y 1 , étant les angles de ces plans avec les plans coordonnés.On doit avoir aussi, entre ces angles, les relations

cos’<#+cos 3 /3+cos’7= j , cos’a.'+cos’/5'+cos’ y'— 1 •

5gl. Problème XIX. Trouver tangle d’une droite et <Iun plan.

Si on mène une perpendiculaire au plan, elle fera avec la droite donnéeun angle égal au complément de l’angle cherché. Soient

Ax + Bj- + Cz + D = o, l’équation dû plan,x=raz+a, y=bz+fl, celles de la droite.

Une perpendiculaire au plan a pour équations

x=a',z+*', y— b'z +jÈ',

A B

en posant <t'= —, —, Mettons ces valeurs dans la formule qui exprime

C. G

le cosinus de l’angle des deux droites (58 1 ), on aura le sinus de l’anglecherché. En nommantdÊfcet angle, il vient

sinU =

Aa+Bi+C

l/u^+è^+i A^+B'+C'

Quand la droite donnée est parallèle au plan, on a sinU = o; doncAa + Bi+C = o : c’est la condition connue ( 571 ).

Quand la droite est perpendiculaire au plan , sinU = 1 : alors encore, enraisonnant comme dans le n° 583, pn retrouve A =:aC , B = iC ( 576 ).