416 TROISIÈME PARTIE.

Mais il faut exprimer que les nouveaux axes sont aussi'rectangulaires; pourcela, on égale à zéro les expressions de cos(x'y'),cos(x'z'),cos(. y'z'), en fonc-tions des cosinus a, A, c, etc.(533, 585). En réunissant ces nouvelles équa-tions de condition aux trois qu’on a déjà, il y en aura six en tout, savoir :

.<t , +a n +o" 1 = i, .ab-\-a'b'+a"b" xzo,

[a] \b , + b n +b' n = i, [à] |flc+a' c '+a"c" = o,

\c , + e' : ‘+e" , z= ]; \bc+b'c'+b r, c" =o.

Ces équations peuvent servir à trouver six des neuf cosinus a, a’, a”, b,...Je ferai connaître tout-à-l’heure de nouvelles relations qui se déduisent decelles-là, et qui sont d’un fréquent usage.

5y8. Remarquons d’abord que les deux systèmes d’axes étant rectangulaires,il s'ensuit que x',y',z', doivent, s’exprimer en x, y, z, par des formules ana-logues aux précédentes [4]- Et en effet, si on se rappelle quels cosinus sontdésignés par fl, a', a", b, b',b", c, c', c", et si on projette les trois coordonnéesx,y, z , sur l’axe Ox', puis sur l’axe Oy', puis sur l’axe Ox', on obtient

f x’=ax-j-a’y+a r 'z,

[5] \y' — bx+b'y-{-b"z,

' z' zzz CX + c'y-\-c"z.

On peut encore trouver ces valeurs au moyen des équations [4]- Par exemple,pour avoir x', on les multiplie respectivement par a, a', puis on les ajoute \et, en ayant égard aur relations [a] et [A], il vient x'=ax-f- a'y + a"z. Onobtient de la même manière y' et z'.

5gg. Il doit exister aussi, entre les coefficients de ces valeurs, six relationsanalogues à celles qui ont lieu entre les coefficients des valeurs [4] de x, y, z;et d’ailleurs ces relations peuvent se trouver directement. D'abord^ÿ est clairque fl, b, c, sont les cosinus des angles formés par l'axe des x avec ceux desx', y', z’; et puisque ceux-ci sont rectangulaires, on doit avoir d 1 -\-b'‘-\-c’—i.Même raisonnement à l’égard de a', b', c', et de a", b", c". En second lieu,l’angle (xy) a pour cosinus aa'+ bb'+ cc' : or, cet angle étant droit, on aoa'-f AA'-f cc'=o. Même raisonnement pour les angles (xz) et (yz)- Ainsi, enmême temps que les équations [a] et [A], on a toujours les suivantes :

.a’ + A’ -f-c’ = 1 , aa! +AA' -f-cc' ,= o,

[c] } fl” + A' a +c' a = i, [d] 1 «a" +AA" +cc" = o,

(o"’4i" , +c' B =i i (o'fl"+A'A"+c'c"=:o.

ün peut encore, par des considérations géométriques, arriver à d’autreséquations ; mais il resterait alors des difficultés sur quelques signes ambigus.Il sera mieux de les établir comme conséquences des équations [«] et [A]; ettel est l'objet du théorème suivant, dans lequel on retrouve aussi les der-nières équations [c] et [d].

Sur les éqiialîunl du condilion mira les neuf cueflicionts a , a', .

Coo. Thbor'kmii. Quelles que soient les neuf quantités a, a', a", b, b', b",c, c’, c", ti elles satisfont aux six équations