GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 419

<? = l'angle ROx, compris entre l'axe des x et la trace OR du plan de x r y'sur celui des xy ;

6 = l’inclinaison du plan de x’y' sur le plan de xy ;

4= l’angle ROx', compris entre l’axe des x' et la trace OPi.

Il y a plusieurs moyen d’arriver aux formules qui ne contiennent que cesdonnées : celui qu’on va exposer consiste à chercher les valeurs des neufcosinus », b, c, etc., en fonctions des trois angles <)>, 8,4-

Concevons que le point O soit le centre d’une sphère dont la surface estrencontrée aux points A, B, C, D, E, par les lignes ü.r, OR, Ox’, O y, Os ; etformons les triangles sphériques ABC, BDC , BCE, En supposant les arcset les angles évalués en degrés, on a AB=:^, BD = go°— ; BC = 4,BB= go”, CBL) = 8, CBA= i8o°— 8, CBE — go 0 — 8.

Rappelons la formule connue (g3)

cos a. = cos jê cos y 4- sin yê sin y cos A,

dans laquelle /£, y, sont les trois côtés d’un triangle sphérique, et Al’angle opposé au côté a. En appliquant cette formule aux triangles ABC,BDC, BCE, on obtient facilement cosCA.cosCD, cosCE , c’est à-dire», »', »". On trouve ainsi *

a ~ cos CA = cos cos 4 — sin ^ sin 4 cos 8,a' 2= cos CD = sin ^ cos 4 + cos <f sin 4 cos 8,

0"=; cgs CE sin 4 sin 8.

Il est facile de déduire de ces valeurs celles de b, b', b", c, c', c". En effet,si on change d’abord 4 en go°+4, la ligne Ox' va se placer sur Oy', et parsuite les valeurs de », »', a", deviennent celles de b, b', b "; savoir :

b = — cos sin 4 — sin <f cos 4 cos 9,b' = — sin sin 4 + cos <f cos 4 cos 8,

4"= cos 4 sin 8.

Ensuite, si on remplace 8 par go°+ 8, dans les valeurs de », »', a", leplan x'OR devient x'OR ; et si on fait en outre 4 = 9°°> I a ligue Ox*devient Ox'r on obtient ainsi

c — sin 4. sin 8 ,c' = — cos^ sin 8,c"= cos 9.

En substituant toutes ces valeurs dans les formules [4} du n« 5g7, il vient

! x =x'(cos q cos 4 — sin ^ sin 4 cos 9)

—y'(cos <f sin 4 + sin cos 4 cos 9) + x'sin <j> sin 9,y= x'(sin <f cos 4 + cos f sin 4 cos 9)

—y'(sin<f sin4 — cos^cos4cos 8)—x'cos^ sin9,z =x'sin4 sin 9 + y' cos 4 sin 9 -f x'cos9-

Telles sont les formules d’EsLER. Leur généralité est sujette à une légèrerestriction, laquelle résulte de ce qu’on a supposé, en calculant 4, b', b", quela portion daxe sur laquelle se comptent les valeurs positives de y’ était