420 TROISIÈME PARTIE.
placée, par rapport à la trace OR, à go° au delà de l’axe des x'. Si on vou-lait quelles fussent comptées du côté opposé O),, il faudrait, en passantdes expressions de a, a' a ", à celles de b, b', b", remplacer 4 , 11011 par9°°+ 4 • mais bien par ; ou, ce qui est plus simple, on changerait
dans les formules [6] les signes des termes en y'.
Soi. Quand on prend la trace OR. pour la ligne des x', les formules sesimplifient considérablement. Il faut alors faire 4 = 0 , ce qui les réduit auxsuivantes :
f ar x'cos 9 —j'sin cos 9 + z'sin sin 9,y=x'sinq> +y'cos<ÿcos9—s'cos 9 sin^,a=rysin9 + z'cosé.
Formules pour trouver l'intersection d’une surface par ud plan. *
60 S. Lorsqu'on a l'équation d’une'surface F(x, y-, z)=o, et qu’on ventconnaître l'intersection de cette surface par un plan, la première idée quise présente, c’est de rapporter cette intersection à deux axes tracés dans sonplan même : or voici una méthode pour y parvenir.
Supposons que les axes des x, y, z, soient rectangulaires. Pour déplaceraussi l'origine, ajoutons aux valeurs [ 6 ] les coordonnées f, g, h, de la nouvelleorigine (SqS), et substituons ensuite ces valeurs dans l’équation F(x,j,z)=o.Alors la surface sera rapportée aux nouveaux axes ; et si on fait z'—o dansl’équation résultante, on aura l’intersection de cette surface par le plande x'/, qu’on peut toujours supposer être le plan donné.
Mais on peut faire z'—o dans les formules avant la substitution; et même,si on n’a point d’autre but que de. connaître l’intersection de la surface, onpeut simplifier encore les calculs en prenant l’axe des x' parallèle à la'traceOR (fig. 25) , ce qui revient à supposer 4 = 0 . De cette manière on a
/ x—f+x’cosq —y'sin<}>cos9,
[ 8 ] j y = g + x'sin<ç +/'cos <f cos 9.
' z —U +y'sin9.
Ces valeurs ne conviennent plus qu’au plan donné, de sorte qu’en les met-tant dans F(x, y, z)=o on aura l’équation de la section cherchée.
604 . Si on veut trouver directement les formules [ 8 ], on le fera par laconstruction suivante. Soit M (fig. 26 ) un point quelconque pris dans leplan y'Ox', dont la trace sur le plan xO y est Ox'; et soient les coordonnées01> = x, PQ —y, QM^z, OP'=x', P'M=/.
Joignez P'Q, et menez P'G parallèle à O y et P'H parallèle à Ox. La ligneP'Q est perpendiculaire à Ox', l’angle IIQP' est égal à xOx', et l’angleMI"Q est égal à l’inclinaison du plan y'Ox' sur lp plan yOx : on faitMP'Q = 9 et x'Ox=<f. Cela posé, les triangles rectangles MQP', QP'H,OGP', donnent MQ=/sin9, QP'=/cos9 ; HP'=QP'sin<}>, IIQ = QP'cos<p;OG=x'cos<f, GP'=x'sin®.
Mais on a x=OG— HP', y=GP'-|- I1Q , z=MQ ; et en mettant au lieudes ligues leurs valeurs, puis ajoutant les constantes f, g, h, on retrouveles formules [ 8 ].