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TROISIÈME PARTIE.

disparaître de l’équation [D] les trois termes du premier degré en posantP/—Q=o, P'g — Q'= o, P"A-Q"=o,

d'où

Q'

A =

Q”P" '

Alors l’équation transformée [D] prend la forme[E] Px’+Py+P"s’=H.

2 ° Supposons qu’un des carrés manque dans [C] : par exemple, soitP = o. La valeur précédente de f devient infinie, alors le terme en x dela transformée [D] ne renferme q?l us l’indéterminée f, et il n’est plus pos-sible de le faire évanouir. Mais on fera disparaître les premières puissancesde y et de z , ainsi que la partie constante , en prenant

_Q' Q" Py*+ Vh 1 — aQ'/r— ■>.(}"h |- F

P' ’ P" ’ 2 q :

et l’équation de la surface sera

[F] Py+P"a’=2Qx.

On pourrait craindre que la dernière valeur de f ne fût infinie; mais il estpermis de supposer Q différent de zéro. En effet, si, outre P=o, on avaitQ=o, l’équation [C] ne contiendrait point x; donc en prenant pour g et hles valeurs ci-dessus, la transformée aurait la forme P'y’4-P"z’=H, la-quelle est déjà comprise dans l’équation [E],

3° Enfin, considérons le «cas où l’équation [C] aurait perdu deux carrésà la fois, et supposons qu’elle soit P "z 1 — 2 Qx— aQ'y — 2 Q"z-| F=o.Alors^n ne peut pas faire évanouir les termes en x et y; mais, en prenant

Q" ■

4= —, le terme en z disparaît encore, et l'équation [D] , en nommant F'la partie constante, devient

P "z 1 — 2 Qx — 2 Q'j+F'= O.

Faisons z=o ■■ cette équation donne 2 Qa--f- 2 Q'/=F', ce qui prouveque le plan de xy coupe la surface suivant une droite. On peut prendrecette droite pour ligne des y, et ce changement n’altérera point le termeP"*’. Mais les termes — 2 Qx— aQ'j + F'seront remplacés par un seulde la forme Sx; car il faudra' que l'hypothèse z=o donne x=o. L’équa-tion de la surface deviendra donc P"z’-|-Sx= o : c’est un cas particulier del’équation [F],

Il résulte de ce qui précède que toutes les surfaces du second ordre, sansexception, sont données par les deux équations

[E] Px* + P' r ’ + P"z’= II,

[F] Py+P"s 2 =2Qx.

A la vérité, les coordonnées ne sont pas rectangulaires; mais pour lemoment cette condition est inutile.