GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.

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On en-tire

R étant une fonction de x et /. Il est visible que le plan dont l’équation est

—B'x—B"/—C"

A"

coupe toutes les cordes parallèles aux z en leurs milieux; donc, si on avait

pris tout d’abord le plan de xy parallèle à ce plan , on aurait dû trouver.

pour ce plan diamétral , z = constante. C’est-à-dire qu’alors on a B' = o,

B"= o, et que par conséquent réquation de la surface se réduit à Ax’-fA'/’-f A"z a -f 2Bx/-f-2Cx+2C'/-|-2C' , 2-f-F = o.

Afin d’opérer une plus grande simplification, changeons la direction desx et des/, sans changer ni leur plan, ni l’origine, ni l’axe des2.Il n’y a dans[B] que les termes fonctions de x et de y qui varieront ; et il est évidentqu’ils seront, après la transformation, les mêmes que si on n’eût considéré

que la trace de la surface sur le plan de xy, laquelle trace s'obtient en faisant

2=0 dans [B], et a pour équation

Ax’-f- A.'y‘-\-iJixy-\- 2Cx+aC'/+F = o.

Or, en changeant la direction des x et des y, on peut toujours faire dispa-raître de cette dernière équation le rectangle xy : on peut donc opérer aussila même simplification dans l’éqdation [B],-et par conséquent lui donnercette forme plus simple,

[C] Px 2 -^-Py^-P"^' , — 2 Qx— 2 Q'/— 2 Q" 2 +F= 0 ,

laquelle comprend encore toutes les surfaces du second ordre.

«1

Il faut bien remarquer qu’on peut avoir cette forme d'équation avec uneinfinité de systèmes d’axes obliques : card’abord on peutdonner une infinitéde directions différentes aux cordes parallèles de la surface, ce qui changel’axe des 2; et ensuite, quand le plan de xy est déterminé, on peut encorefaire évanouir le rectangle .r/ en variant d’une infinité de manières les axesdesx et des/. Et remarquez encore que tous ces changements se font sansdéplacer l’origine primitive, qui reste tout à fait arbitraire.

Réductions ultérieures.

Gn. Maintenant, pour obtenir de nouvelles simplifications , disposons del’origine. A cet effet on remplacera x, y, z, par x-\-f, y+g, 2+û;|et l’équa-tion [C] devient

PiM-ry+P"î’

[D] -f 2 (P/—Q)x-)- 2 (P'g-— QO /+ 2 (P "k—Q")z

-f P/’+P'^'+P"/;’—2Q/ — 2Q 'g — 2Q"A + F

t° Si la disparition des rectangles n’a fait évanouir aucun des trois carrésdans [C], les coefficients P, P', P", sont différents de zéro, et l’on fera