434 TROISIÈME PARTIE.

628. Les équations [1] font connaître f g, h. En considérant ces coordon-nées comme des variables, les équations [1] représentent trois plans; et c’estl'intersection de ces plans qui détermine le centre. Alors se présentent lesdistinctions suivantes :

1° Quand les plans ont un point commun et qu’ils n’en ont qu’un, la sur-face a un centre unique; c'est le cas le plus général.

2° Quand les trois plans se coupent suivant la même droite, tous lespoints de cette droite sont des centres.

3° Quand ies trois plans se confondent en un seul, tous les points de ceplan peuvent être pris pour centres.

4“ Enfin, quand aucunpoint n’est communaux trois plans à la fois, et c'estce qui arrive quand ils sont parallèles, ou quand l’un d'eux est parallèle àl’intersection des deux autres. Alors la surface n’a point de centre, ou plu-tôt le centre est à l’infini : car les valeurs générales d ef, g, h, déduites deséquations [1], deviennent infinies, ou au moins l’une d’elles.

629. 11 est évident qu’on doit avoir, dans le premier cas, l’une des troissurfaces douées de centre, ou un cône , ou un point unique, ou un cas d’im-possibilité. Dans le second, on a un cylindre elliptique ou hyperbolique, oudeux plans qui se coupent, ou une droite, ou un cas d’impossibilité. Dans letroisième, on a deux plans parallèles, ou un seul plan, ou deux plans ima-ginaires. Dans le quatrième, on a l’un des deux paraboloïdes, ou bien uncyli ndre parabolique.

Des jilaus diamétraux eu général*

63o. Un plan diamétral doit couper en leurs milieux une suite de cordesparallèles (6i5) : appliquons le calcul à cette définition. Soient

[1] x — Sz-\- f , y^S'z- f/,

les équations d’une corde quelconque , <f et l' étant constantes, mais f et/étant variables d’une corde à une autre- Substituons ces valeurs dans l'équa-tion générale [A] , et posons, pour abréger,

R = A t r , +A'<r+ A"+2BW'+2BV+aB"J',

S = A4+AVy+I«/+ BiUf+B'f-j- B'V+CJ'-f C'J'+C ",

T = A f ’+Ay 2 +2lV+aCf+2Cy+F :

il viendra l’équation

[2] Ra’+aSs-f T = o,

dont les racines sont les valeurs de s, aux points où la corde rencontre la

S

surface. Leur demi-somme est-, et c’est une des coordonnées du mi-

R

lieu de la corde ; donc, en désignant cette coordonnée par z, on aura

L 3 ] Ra+S-o.

E 11 nommant .c et y les deux autres coordonnées du milieu de la cordc, on