GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS.

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CHAPITRE VL

DU CENTRE. PLANS DIAMÉTRAUX ET DIAMÈTRES , PLANS ET AXES PRINCIPAUX.

Recherche du centre dans le cas le plus général.

C27. Quand une surface du second ordre a un centre et qu'on y place l’o-rigine, les termes du premier degré doivent s’anéantir (612); donc , pourconnaître si la surface a un centre, il suffit de transporter les axes parallè-lement à eux-mêmes,à uneorigine quelconque, et dedéterminer ensuite, s’ilest possible, les coordonnées de cette origine par la condition que les terniesdu premier degré disparaissent. Prenons l’équation générale[A] Aaf'+A'y'-f- A"z’-f-2B.ry-f 2B'xz-\-zTÎ"yz

+ 2Cai + aC'y + 2C"i+F = 0,

et cliangeons-y x,y,z, en x +/, y-\-g, z-\-h. En faisant, pour abréger,

D — A/ +Bg -f B'A + C,

D' =1 A'g +B/ +B"A +C',

I)"=aA"A+B'/ +B"„. + C",

G = A/’ +A'ÿ-'+A"A’ + 2 B/ ff + 2 B 7 A+aB''ÿA

+2C/4- 2C' â '-l-2C'7l+F,

il viendra une nouvelle équation, qui aura la forme

A.t'-f A'y+A ,, a'-)-2B.ty'+2B , .i^^2B"jc-l- aBvt -(-aD'j + aD' 7 -f G =0.

Remarquez : 1° que les termes du 2« degré ont les mêmes coefficients quedans la proposée ; 2 0 que ceux du 1" degré peuvent s’obtenir en mettant/, g, h, à la place de x, y, z, dans les polynômes dérivés, relatifs à x,y,z, dupremier membre de la proposée: 3 ° que la partie constante G n’est autreque ce premier membre dans lequel on a opéré les mêmes substitutions.

Puisqu’on veut faire disparaître les termes du premier degré, on posera[>] I) = o, D'=o, D"=o:

alors l’origine sera placée au centre, et l’équation de la surface devient[G] Ax’ i -\-A'y' x +A"« , 4-2B;r)'-|-2B'x ï +2B"j--(-G=ro.

En même temps l’expression de G se simplifie considérablement : car, siaprès avoir multiplié les équations [1] respectivement par/, g, h, on lesretranche de G, il vient

G = C/+C'g+C"A+ F.

Il est bon aussi de remarquer que dans les valeurs générales de f,g, h, dé-duites des équations [1], le dénominateur commun, que j appellerai lv, estK = AB''A'B'-’-f- A"B — A A'A"—2BB' B".

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