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TROISIÈME PARTIE.

déjà faite(61 3 ), considérer les paraboloïdes comme ayant un centre situé àune distance infinie ; et c'est ce qu'il convient de faire dans tous les cas ana-logues, afin d’éviter les détails trop minutieux.

Des diamètres.

634 - La recherche des diamètres est facile ; mais , pour diminuer la pro

fixité des calculs , je prendrai, au fieu de l’équation générale [À], celle- ci

P.r"+ Pjy’ -f P "x 1 = Il + aQx,

[II]

qui est plus simple , et qui cependant comprend toutes les surfaces du 2'ordre ; car les équations [E] et [FJ du n° 6n eq^sont des cas particuliers.

Le diamètre, d’après sa définition ( 6 i 4 ), doit passer par les centres dessections faites dans la surface par une suite de plans parallèles. Soit

[i] z — ax + a'y+y,

l’équation d'un de ces plans , a et*' étant constants et y variable : l’élimina-

tion de s entre [i] et [HJ fera connaître la projection de la section sur leplan de xy. Il vient

M

(P + P" a 2 )x , +(P , + P" a ' ;, )/ , + 2P"aa'ay-f2(P"*y — Q)x-f- 2P"*'yy-\- Vy 1 — H = 0.

Les seules courbes que puisse donner un plan, en coupant unesurfacedu•i c ordre , sont l’ellipse, l’hyperbole et la parabole (607) ; et il est évidentque si la projection est une ellipse ou une hyperbole, la section elle-même11e peut être qu ’une ellipse ou une hyperbole. De plus, il est facile de voirque le centre de la projection est la projection du centre de la section. Enconséquence, je supposerai que l’éq. [2] représente une ellipse ou une hy-perbole , et je vais déterminer les coordonnées du centre de cetteprojection.Pour les obtenir, il faut (270) égaler à zéro les polynômes dérivés, relatifsàx et a.y, du premier membre de l’éq. [2] ; et on trouve ainsi

(P + V"a , )x + P "aa'y+ V" ay =Q,(P’-\-P"a n -)y + P"aa'x + P"a'y =r o.

LM

[ 4 ]

Dans ces équations, x et y sont deux des trois coordonnées du centre de lasection; l’équation 1 1] ferait connaître la troisième z. Mais , pour avoir le

fieu des centres de toutes les sections parallèles qui proviennent de la varia-

tion de y, il serainutile de chercher les valeurs de x, y, z ; il suffira d’éli-miner y entre [1 j, [ 3 ], [ 4 j- On obtient pour résultat les équations

IVc + P"as=Q, P'y+P"*'z=o,

qui sont celles d’un diamètre quelconque de la surface.

635 . Quand la surface a un centre , on peut faire Q =0 ; et ces équationsdeviennent Px-j-P"xz=o, Vy-\-P"*'z=zo. En choisissant convenablementa. et x', la droite quelles représentent prend toutes les positions possiblesautour de l’origine. De la on conclut que tous les diamètres passent au centre;ct t rcciprotpicrnent, tjitc toute droite mcncepar le centre est nndiamctrc.