géométrie analytique a trois dimensions.

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636. Quand la surface n'a point de centre, on peut supposer II = o,

Pr=o: et les équations [5] donnent z = , y —— ® r > on P eu t

déterminer « et «' de manière que y et z aient telles grandeurs qu’on veut ;donc, dans les paraboloïdcs , les diamètres sont parallèles à la ligne des x; et, ré-ciproquement , toute droite qui a cette direction est un diamètre.

Plans cl diamètres principaux.

63?. On a nommé (6r5) plan principal un plan diamétral perpendiculaireà scs cordes conjuguées , c’est-à-dire aux cordes parallèles qu’il coupe parmoitié Ainsi, pour avoir tous les plans principaux d’une surface du secondordre, il suffit d’établir les équations qui expriment cette condition. Jus-qu'ici on n’a fait aucune hypothèse sur la direction des coordonnées dansl’éq-fA]: il est donc permis de les supposer rectangulaires. Alors, pour quele plan diamétral soit perpendiculaire aux cordes conjuguées, il faut (5"6),entre les coefficients des éq. [i] et [4] du n°t>3o, poser les relations

r -, rAJ -J-BJ'+B' = (A"+B'J+B"J';J,

'■‘J IA'J'+BJ+15"= (A"+BV+B"J')J'.

Kilos feront connaître J et S', et par suite les plans principaux.

Afin d’avoir des calculs symétriques, faisons A"-f B'J 1-B"J'— x : au lieude deux inconnues on en aura trois, J, S', x, qui seront déterminées par leséquations

(AJ -fBJ'+B' — xJ,

[Y| . jA'J'+Bj+B" =xJ',

' A" -y B'J+ W'f = x.

Les deux premières donnent

(x—A') B'+BIV ( ,_ (x — A)B"+BB'

^ (x—A)(x—A'}—B‘ ’ ~ (x—A ) (x—A')—If' ’

valeurs qui seront réelles si x n’est point imaginaire. En les substituantdans la troisième équation, il vient

(x_A)(x—A')(x—A")—B'°(x—A)—B'’(x—A')—B*(x—A")— 2 BB'B"= o,ou, en développant et désignant par K la même expression que dansle n° 627 ,

[ 3 ] x ;t — (A+A'+A'')x , +(AA'4-AA''+ A'A"—B’—B'*—B"’)a+K = o.

Telle est l’équation qu’il faut résoudre pour connaître les valeurs de x, etensuite celles de J et J'.

638. Cette équation, étant de degré impair, a au moins une racine réelle.IMais pour que cette racine détermine véritablement un plan principal, il nefaut pas que ce plan aille couper les axes coordonnés à des distances infinies.Ne considérons d’abord que les surfaces qui ont un centre. Alors cette diffi-culté 11 e peut point exister ; car, dans ces suriaccs, tous les plans diamétrauxpassent au centre : ainsi, elles ont au moins un plan principal- Pour jugersi elles en ont plusieurs, j’aurai recours aux considérations suivantes.