géométrie analytique a trois dimensions. U7

dans le premier membre, sont les carrés des cosinus des angles formés parles demi-diamètres n',b',c ', avec la ligne D ; donc

«'•W(a'D) !-i' 7 -cos'’(J , D)+c' , cos'’(c'D) — «V+AT+«’J" ! .

Dans cette égalité, le premier membre est la somme des carrés des projec-tions de a', b', c', sur la ligne D ; et le second est la somme des carrés desprojections de a, b,c, sur la même ligne : ainsi, le théorème est démontré.

Corollaires. Supposons que la droite D ait été menée par le centre , quep, P'iP ,r i soient les projections de «', b', c', sur cette droite, et que q , q\q"isoient les perpendiculaires abaissées des extrémités de a', b', c', sur cettemême droite : il est clair qu'on aura

a n + b' 2 + c' :l =p , +p n +p"‘’+q''+q”+q"\

En vertu des théorèmes I et II, chacune des deux sommes a^+b'^+c'* etp ' +p n +p' n est constante, quelle que soit la position des diamètres conju-gués ; donc la somme l estaussi. Les perpendiculaires q,q',q",

peuvent être considérées comme les projections de a', b', c', sur un planquelconque ; etp, p', p", comme les perpendiculaires abaissées, des extrémi-tés de ces diamètres, sur un plan diamétral : donc, dans l’ellipsoïde ,

1 ° La somme des carrés des perpendiculaires abaissées sur un diamètrefixe, par les extrémités de trois diamètres conjugués, est constante.

La somme des carrés des projections de trois diamètres conjugués, surun plan fixe, est constante.

3° La somme des carrés des perpendiculaires abaissées sur un plan diamé-tral, par les extrémités de trois diamètres conjugués, est constante.

65 j. Théorème III. Lu somme des carrés des faces du parallélépipède construitsur les diamètres conjugués d'un ellipsoïde , est constante.

Dans la démonstration de ce théorème et des suivants, je désignerai parx 1 , y’, s', x",y", z",x'",y'", z"', les coordonnées rectangulaires des extré-mités des trois demi-diamètres a', b',c'; par F, G, H , les parallélogrammesformés par b' et c', par a' etc', par a' et i'.Je représenterai aussi par f, f,f",les projections de F sur les plans de yz, de xz et de.r/,- parg', g', g", cellesde G ; et par h, h', h ", celles de II.

Cela posé, soit (lig. 3y) OBEC le parallélogramme formé avec b' et c', etOB'C' la projection du triangle OBC sur le plan d cyz : il est facile de trou-ver, par la figure,

' /=20B'C':Mais on a

-yilglll _ y"z"~

r' ma'at, y' ~ a'*', z r = a'a",.t"=//yg, y" =b'/i', z" =b'ë".

donc f ■zzl'dlf'y" — ÿfi"), ou bien, en vertu de la première équation [6],bc

f =— a' a. On trouve pareillement les projections/' et/", de sorte qu’on aa

bc ne ab

/=-«'*, /"=-a' tt ".

a b c