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TROISIÈME PARTIE.

Il a été permis cle ne prendre, dans les équations [6], que les signes supé-rieurs. Cela revient à donner à quelques cosinus, par exemple à a, a', a",certains signes plutôt que les signes opposés; ou bien encore, ce qui est lamême chose, à prendre les .r positifs dans un sens plutôt que dans le senscontraire. Or, il est évident que cette restriction ne peut exclure aucun sys-tème de diamètres conjugués.

65a. Tiiéor’emb I. La somme des carrés des diamètres conjugués d'un ellip.solde est constante et égale a la somme des carrés des axes.

En effet, si on ajoute les équations [4], il vient, en ayant égard aux relations [i],

«<"•4 A " 4 < 4 > — «’+£•'+ c \

Coholiaire. S'il existe, dans l’ellipsoïde, des diamètres conjugués égaux,en désignant l'un d’eux par 20 ', on aura

y/ a’ J -fê’ 1 +c''

Lelieu des extrémités de tous les diamètres qui ont cettelongueur est l'inter-section de l’ellipsoïde et de la sphère concentrique décrite du rayon a' : or,je vais prouver que chacun de ces diamètresappartient à un système de troisdiamètres conjugués égaux. En effet, si on prend un de ces diamètres avecdeux diamètres conjugués quelconques ib' et 2 e' de l’ellipse située dans leplan diamétral conjugué du premier, on aura trois diamètres conju-gués de l’ellipsoïde; donc o w + b ri + c n = a?-\-lr+ c*, et pur conséquenti' J +c' J = ’ («■’-fA'+c'j.Ue là il suit qu'en choisissant pour b' et c'ics demi-diamètres conjugués égaux de la section diamétrale, on aura

'■’+A'+c'

c'est-à-dire qu’alors a\b',c', sont trois diamètres conjugués égaux. En y rap-portant la surface, son équation serait celle-ci

qui est semblable à celle de la sphère ; mais ici les coordonnées ne sont pas

rectangulaires.

6Ô3. Théorème II. La somme des carrés des projections de trois diamètresconjugués d’un ellipsoïde , sur une droite fixe ,' est constante.

Je nommerai D la droite fixe, et <f, i\ i'\ les angles qu elle fait avec lesaxes rectangulaires des x,y, z. Multipliez les équations [4] respectivementpar <E, «f", f n , et les équations [5] respectivement par ‘lîS’, 2 Si", 2 <f^f ,, ;puis ajoutez-les toutes ensemble : il vient

. a''{*SJ r di'+*."i"j'+b''(lèS+li r i'+li"i"f+c' s ( c J+y'S'+j"n''

— a-S- + lri n +c-i"\

Blais, pur une formule comme (585), les quantités qui multiplient « ,J ,!>’ 1