GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TnOIS DIMENSIONS. 419

OPQGIO, OPRHFO, OQRHGO; et vous verrez que la pyramide OFGIIest égale à la somme des deux premiers, moins celle des deux derniers. Cesquatre solides peuvent être considérés comme des prismes triangulairestronqués; et par conséquent on a

PQRHFG= ;PQll.(z'+a"+z'"), OPQGFO = |OPQ. (z' M'").Ol>RHF 0 = iOl'R.(z'+z'") , OQRHGO = !OQR.(z"+*"');

donc, pour la pyramide OFGH, on a

üFGlI=;PQU.(î'+*"+s'")+iOPQ.V+*")—s OPR. (*'+*")

— füQR.(j"+s'")

= }s'(PQR+OPQ — OPR)+ia"<PQR+OPQ—OQR)

+ i z"'(PQR —OPR —OQR).

L’inspection de la ligure suffit pour indiquer les réductions, et il yientOFGII = | ;'.OQR+ ; s".OPR — ; z"'. OPQ.

Biais ou aperçoit facilement sur la ligure que

OQR =i [. c '"/"_.rV-(/' + /") (,c'"-.r")J = {(x"/"-/'*"').

opn = i[>y+ (/+/")(*'"—.•«:') — x H ’y"'Ÿ—

OV() =i. [*y+ (/+/') (.*" - .r')] =i (/.l'W/*)•

lin substituant ces valeurs dans OFGII, et multipliant par 6 pour avoir V,on trouve, tout calcul fait ,

Y= x y , z , "—x r z , y f, +z , x , y t, --yx ,t z m +yï t, s:" f —z , s r x / ".

Dulin, remplaçons .r',/', 5 ',... par leurs valeurs .(G&j), il vient

Y = «WWV f - *>'£"+*>'«"—yéV");et, à cause de la dernière équation [fi],

V= -abc,

résultat conforme à lenoncé(*).

603. Dans les paraboloïdes, tous les diamètres i;ont parallèles entre eux ;par conséquent, il ne faut pas chercher dans ces surfaces un système de trois

O Les travaux de M. Chasles ont ajouté aux surfaces du second ordre plu-sieurs propositions nouvelles, qui méritent d'étre remarquées à cause de leurgrande généralité. J'indiquerai ici seulement la suivante, dont je supprime la dé-monstration. Si Von a deux surfaces du second ordre concentriques, la somme de*carrés de trois diamètres conjugués quelconques de la première surface, divisésrespectivement par les carrés des trois diamètres de la seconde surface compritsur les directions de ces trois diamètres conjugués , est constante .

Lu prenant une sphère pour la dcuviiuic surface, on retrouve le théorème dun u 6.*a.

Le lecteur qui voudrait connaître les ingénieuses recherches de M. Cn*scts doitcousullcr la Correspondance suvVheole Polytechnique de M. Hachette , Us Annalesde M. Guusoiwe, U Correspondance mathématique et physique de M. Quetelet .

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