GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 457

Suivant la courbe dont le centre est en ce point , les plans tangents aux surfaces ,dans tous les points de ces courbes concentriques , iront rencontrer le diamètrecommun au même point .

669. Actuellement je vais considérer le cas où il serait question de menerun plan tangent à une surface du second ordre par un point extérieur à lasurface. Considérons toujours l’ellipsoïde représenté par l’équation [/>], dé-signons par .r", y", les coordonnées du point donné, et par x\ y', z f 7celles du point de contact : on aura, entre ces trois inconnues, les deuxéquations

"* yf*

TF' +

b c

[ 6 ]

• +

x" x' y ,f y t z 1 ' z'

~r + '~y~ + ~ =l

En regardant x r 7 y\ z r , comme des variables, la seconde équation repré-sente un plan ; et c’est l’intersection de ce plan avec la surface qui est le lieudes points de contact. Cette intersection peut aussi être considérée commela base du cône qui serait circonscrit à la surface, et qui aurait son sennnetau point donné ( 663 ).

Si on mène le diamètre qui passe au point donné, et qu’on prenne le plandiamétral conjugué de ce diamètre, on reconnaît sur-le-champ qu’il est pa-rallèle au plan de l'équation [ 61 .

x"x' r"y'

Dans l’équation [6] faisons z'= o, on trouve -— : - 1 -;—— i. Comme

a 1 b 1

cette équation ne contient pas s", on conclut quelle représente toujours lameme droite, quelle que soit la position du point donné, pourvu qu'il restesur une parallèle à l’axe des z; car x' et y r ne changent pas. Et remarquezqu’il est permis de supposer cct axe parallèle à une droite quelconque, etqu’aîors le plan de xy serait le plan diamétral conjugué aux cordes parallèlesà cette droite.

Si, dans la même équation [6] , on fait y’— o et z'= o, il vient .r'= —,

x n

valeur qui ne change pas quand le point donné se meut dans un plan paral-lèle à celui de yz. Remarquez encore que ce plan de yz peut être pris pa-rallèle à un plan donné, et qu'alors la ligne des x doit être le diamètreconjugué à ce plan.

En résumant ce qui précède, on a ce théorème :

La courbe de contact d'utj. cône avec une surface du second ordre est une dessections conjuguées au diamètre qui passe par le sommet du cône. Si on faitmouvoir le sommet du cône sur une droite donnée , le plan de cette courbe passeraconstamment par une même droite , située dans le plan diamétral conjugué descordes parallèles à la droite donnée. Ënjtn 7 si on fait parcourir au sommet ducône un plan donnè t le plan de la combe de contact ira toujours couper au mêmepoint le diamètre conjugué des sections parallèles au plan donné.