456 TROISIÈME PARTIE.
Quand la surface n'a point de centre, on peut mettre son équation sous laforme
[F] Py-j-P" s ’= aQ.r,-
et l'équation du plan tangent est simplement
[3] Pyy+P"z'i; = Q(x+x').
Afin de mieux fixer les idées , dans ce qui va suivre, on ne considérera quel'ellipsoïde; mais les conséquences seront énoncées en termes généraux,parce qu'il sera facile de voir qu’elles s’étendent aux liypcrboloïdes, en preliant négativement les carrés des diamètres imaginaires ; et aussi aux para-boloïdes, en regardant ces surfaces comme ayant un centre situé à l'infini.666 . Prenons pour l'ellipsoïde l’équation
[/']
~ + '—a o c
dans laquelle a, 4, c, sont trois demi-diamètres conjugués ; celle du plantangent sera
[4]
x'x y\y z r z
Par Je point île contact, menons un diamètre : ses équations serontx' y
x=—z, y = —Si par suite celle du plan diamétral conjugué devient(63o)
‘ r . y y ; ^ -
—7- + T7 + —= o;
abc
donc le plan tangent a l'cxtrèmitè d un diamètre est parallèle au plan diamétralconjugué de ce diamètre.
6 G 7 . Cherchons la trace du plan tangent sur le plan dp xy , et pour celafaisons s = o dans [/j] : il vient
x'x y’y
—
Or, il est évident que cette équation ne change pas, si on donne à c et à z rd’autres grandeurs, et même une autre direction, pourvu qu’on n’altcre niles longueurs ni les directions des lignes a , b, x‘, y'. Donc,
Si plusieurs surfaces du second ordre sont coupées , par un plan diamétralcommun , suivant la même courbe , et si, par un point quelconque de ce plan, oumène , dans chaque surface, la corde conjuguée h ce plan , les plans tangents auxextrémités de ces différentes cordes iront tous rencontrer le plan diamétral suivantla même trace.
GG 8 . Faisons à lu fois y = o et ;=ro dans l’équation [4] * on a
valeur qui ne contient que a et x f . Ainsi, les grandeurs et les directionsde b, c,y l 9 peuvent varier sans que cette valeur change : donc,
Si des surfaces du second ordre ont un diamètre commun , et si pur un pointde ce diamètre on mène , dans chaque surface , le plan conjugue qui lu coupe