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TROISIÈME PARUE

CHAPITRE IX.

DES SECTIONS FAITES PAR LES PLANS DANS LES SPRFACES DOSECOND ORDRE.

Différentes courbes que donnent les sections planes.

C72. Dans le chapitre V, on a coupé les surfaces de second ordre seule-ment par des plans parallèles à ceux des coordonnées, parce que ces sectionssuflisaient pour donner des différences caractéristiques propres à chaquegenre de surfaces. Mais, pour mieux connaître ces surfaces, il est bond’examiner toutes les sortes de sections qu'il est possible d’obtenir.

Considérons d’abord les surfaces douées de centre, dont l'équation est

[E]

lV‘ + Py' + P"5 3 = H ;

et, pour le plan coupant, prenons

[>]

x = *ty+£z + f.

L’élimination de x donne, pour la projection de l’intersection sur le plandoyz, l’équation

M

(Pa’ + P')j , + (P/S’ + P ">’ + al Vjü+ ‘iPa.!y+ 2 Pji[Z + 'Pc , —ll

et, selon qu’elle représente une ellipse, une hyperbole ou une parabole, l’in-tersection elle-même sera une ellipse, une hyperbole ou une parabole ; carelle doit être une ligne du second ordre ((îoy), et il est clair qu’une de cescourbes ne peut pas avoir pour projection une des deux autres. Comparonsdonc l’équation [ 2 ] avec l’équation hy’’ -\-Vjzy-\-Cz'’ + etc.=o, et formonsla quantité B’—: on trouve

B’— /jAC= — 4(P'P"-|-PP'V+PP' y S I ).

En donnant à a. et à @ toutes les valeurs possibles , cette quantité reste né-gative quand la surface est un ellipsoide : car alors P, P', P", sont positifs.Mais, pour les hyperboloides, P" étant négatif, cette quantité peut être po-sitive , négative, ou nulle. Donc l’ellipsoïde , coupé par des plans, 11 e donneque des ellipses, tandis que les hyperboloides peuvent donner aussi des hy-perboles et des paraboles.

L’équation [ 1 ] ne renfermant pas les plans parallèles à l’axe des x, ceux cidoivent être considérés à part. Or ils sont compris dans l'équation y — •ja + f>'et en mettant cette valeur dans [Ej, on trouve l’équation

[3] Px’ + (PV+P")s , +2P , vfs + ry— H = o ,

qui conduit aux mêmes conséquences que l’équation [a].