GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 461

673 . Passons au cas des parahoïlodcs. Si on veut les couper par des plansnon parallèles à l'axe des x, on élimine x entre les équationsP'/+P"s'= aQ.r, x =xay+fis + f,

et il vient

[4] IV + r , V-aQ«j-aQifc-aQf = o.

Donc la section est une ellipse ou une hyperbole, selon que P" est positif ounégatif, c’est-à-dire selon que le paraboloïde est elliptique ou hyperbolique.

Quand le plan coupant est parallèle à l’axe des x, il fautprendre, pour sonéquation,; et alors, pour la projection de la section, on a

(PV4 P'Oa’+aP'v/^ + P'f' = 2 Q x >

équation qui donne des paraboles, quel que soit le signe de P"’.

(^/(.Examinons maintenant les sections faites par des plans parallèles entreeux. Il faudra supposer, dans les calculs précédents, que a, fi, y, conserventles mêmes valeurs, et que p varie seul. Les coefficients des termes du seconddegré, dans les équations des projections, 11 c changeront pas; donc ils aurontentre eux toujours les mêmes rapports; donc (485) les projections sont descourbes semblables et semblablement placées (sauf le cas où l’on aurait deshyperboles tournées en sens opposé, comme dans la fig. 42 ). De là il est fa-cile de conclure que les sections elles-mêmes jouissent de cette propriété.

Soient (fig. 43) AC, A'C', des courbes situées dans des plans parallèles, etac, a'c', leurs projections sur un plan donné ; supposons ces projectionssemblables et semblablement situées ; et soient o et o' les centres de simi-litude. Eu menant les rayons vecteurs oa, ob, oc,... et leurs parallèles o’a',o'b’, o'c',... on devra avoir cette suite de rapports égaux (. 479 )

oa : o’a'ob :o'b':: oc: o’c', etc.

Cela posé, soient OA, OB, OC,... les rayons vecteurs projetés sur oa, ob,ot,...;et O'A', O'B', O'C',... les rayons vecteurs projetés sur c'a', o'b', o'c',... Lesrayons OA et O'A'seront parallèles entre eux, comme intersections deplansparallèles; et de plus il est facile de voir qu’ils sont entre eux dans lerapport de leurs projections. On peut dire la même chose do OB et O'B', etc.;donc

0A:0'A'::0B:0'B':; OC;O'C', etc.;

donc les courbes AC, A'C', sont semblables et semblablement situées.

Ainsi, les sections parallèles d’une surface du second ordre sont des lignesdu second ordre semblables et semblablement situées.

Cas particuliers où les scclions sont des hyperboles. Cône asymplole.

670 . Beprenons l’équation qui représente les hypcrboloïdes,

[P,] r. r ’’-|-l’jf3— P"a’ —± 11 ;

et supposons que la surface soit coupée par le plan dont l’équation est

[i] * =