470 TROISIEME PARTIE.

La génératrice (levant toujours rencontrer l'axe des s, en restant parallèleau plan (le xy, ses équations seront de la formex = ay, zz=£.

Comme elle doit aussi rencontrer B h , on a la condition

fi = aba. ;

et en éliminant a et /?, entre cette équation et celles de la génératrice , on a

y Z = abx.

Cette équation doit représenter un paraboloide hyperbolique ; car, dansle se-cond ordre, il n'y a que cette surface sur laquelleonpuisse tracer des droitesqui soient rencontrées par d'autres droites parallèles à un même plan.

Section* circulaires.

Gg5. Au commencement de ce chapitre, on a reconnu d’une manière géné-rale les courbes qu’on obtient en coupant les différentes surfaces du secondordre par des plans ; et, plus loin, on a fait voir que l’hypcrboloïde à unenappe et le paraboloide hyperbolique peuvent donner des lignes droites :nous nous proposons actuellement de rechercher s’il est possible de placerles plans coupants de manière que les sections soient des cercles.

Considérons d’abord un ellipsoïde, et soient (lig.5o) OA,OB,OC, sesdemi-axes.Supposons OA>OB, OB>OC, et menons,par le demi-axe moyen OB,un plan qui coupe l’ellipse AC au point t). L’intersection avec la surface estune ellipse qui a pour demi-axes OB et OD : or, en faisant tourner le planautour de OB, la ligne OD prend toutes les grandeurs comprises entreOA et OC ; donc il existe une position pour laquelle OD=OB. Alors lasection est un cercle, ainsi que toutes les sections parallèles.

La symétrie de l’ellipsoïde , relativement à ses axes,prouve qu’en faisantl’angle COD'= COD, le plan D'OB coupera encore la surface suivant uncercle. Les deux plans DOB, D'OB, se confondent avec le plan COB quandOB = OC; et avec AOB, quand OB = OA. Dans ces deux cas, l’ellipsoïdeest de révolution.

On a mené le plan DOB par l’axe moyen : il est clair que si on l’eûtmené par l’un des deux autres, on n’eût pas obtenu de cercle.Par exemple,s’il passe par OA , la section sera une ellipse dont OA est un demi-axe, etdont l’autre demi-axe, qui est compris entre OBet OC, ne peut pas devenirégal à OA.

CgC.Voiciune autre manière fort simple de trouver les cerclesBD et BD'.Prenons l’équation de l’ellipsoïde rapportée à ses plans principaux ,

[P] Paf+Py+P'V = II ;

et écrivons-la ainsi

P.r’+P'(aï , +/’+* a ) + P"^ = H+P'.r‘+P', 5 ’,ou encore, de cette manière

P '(x'+y*-\ 0= H-KF-P)*’—(P"~P'y.