GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 46

693. Il existe entre l’hypcrboloïde à une nappe et le paraboloïde hyper-bolique une différence qu’il importe de remarquer. C’est que, dans la pre-mière surface, trois droites d'un même système ne sont point parallèles à unmême plan (684), tandis que, dans la seconde, elles remplissent toutes cettecondition.il est évident, en effet, par les résultats précédents, que toutes Usdroites d’un même système ont leurs projections, sur le plan dc^z, paral-lèles entre elles, etque par conséquent cesdroites sont parallèles à un mêmeplan, qui lui-même est parallèle aux diamètres de la surface.

On doit donc regarder comme démontré que le paraboloïde hyperboliquepeut être engendré par le mouvement d'une droite qui glisse sur trois droites fixesparallèles à un même plan , ou bien encore , par une droite qui glisse sur deuxdroites fixes t en restant toujours parallèle à un plan donné.

694. Réciproquement faisons voir que toute surface résultant de l’un de cesdeux modes de génération est un paraboloïde hyperbolique.

Supposons d’abord (fig.48) que la génératrice se meuve sur trois directricesAR,BS, CT, parallèles à un plan. Soit Az une position particulière de lagénératrice, et A, B, C, les points où elle coupe les trois directrices. MenonsAx et A y parallèles à BS et CT : les lignes AR , Ax , Ay> seront dans lemême plan, le plan zAx contiendra BS, et le plan zAy contiendra CT. Celaposé, prenons les lignes Ax, Ay, As, pour axes des coordonnées ; et les équa-tions des trois directrices seront

5 = 0*} P our AR; i=°)l’ 0UrBS: z = 4 ') P° urCT -

Soient les équations de la génératrice :

x=zaz + a\ y=z£z+£'.

Pour quelle rencontre les trois directrices, on a les conditionsan’ — {t' = o, b/l+fî'zxo, i'*+ct'=o;

et, pour avoir l’équation de la surface, il faut éliminera, a', /?, entre ceséquations et celles delà génératrice. On trouve, pour résultat,

aV xz — byz — abb'x-{-bb'yxzo ;

donc la surface est du second ordre. D’ailleurs , elle est engendrée par unedroite qui glisse sur trois directrices parallèles à un plan ; donc elle ne peutêtre qu'un paraboloïde hyperbolique.

Supposons maintenant (fig.49) que la génératrice glisse sur deux droitesAz et Bu, en demeurant constamment parallèle au même plan yAx. SoientA et B les points d’intersection de ce plan avec les deux directrices. Menons,par ces points, la droite Ay; menons aussi, par la ligne Az, unplan parallèleà Bu, lequel coupe le plan yAx suivant la ligne Ax; enfin, prenons Ax, Ay,Az, pour axes de coordonnées.

La directrice Bu passant par l’axe des y, et étant parallèle au plan xAz,ses équations seront

zxzax, yxzb.