GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. , 473

égales. Soit P"= P' : les solutions des équations [a] et [3] deviennentcos9 = o, tangij = ao ou cos 4 . = o;sinq>=;o, tang9 = ±:^/—i;cos 4 >=o, tang0 —no ou cos8 = o.

Les deux solutions réelles se composent des mêmes valeurs, cos0=o,cos«f = o ; et elles montrent que les sections circulaires doivent être per-pendiculaires à l'axe des x, qui est ici l’axe de révolution.

Soit P"— P'— P, les équations [ 2 ] et [3] sont vérifiées d’elles-mêmes ,quels que soient <p et 0, ce qui revient à dire que l’intersection d’une sphèrepar un plan est toujours un cercle.

Modifions l’analyse précédente pour le cas des paraboloïdes. Pour ces sur-faces, on peut prendre, en coordonnées rectangulaires, l’équation[F] Py 2 +P'V=:2Qx;

et la substitution des valeurs [x] donne encore un résultat de la formeA/ r '-t-Bx'y'-l-Cx'’4-etc. = 0 . Mais alors on a, pour A, B, C,

A = P'cos’^ cos 3 9 +P"sin’0, B = 2 P' sin q cos <p cos 9 , C =: P'sin’ ;et, pour que la section soit un cercle, il faut poser

sinq> cos<p cos8 = 0 , P'cos J <f cos’9 +P''sin’0 =P' sin’^.

Un tire de là trois systèmes de valeurs, savoir :

{ sin a> = o, /cos<j = o, ( cos0=O,

j tang 0 = ± y/ jsinS^iv/^. jsin* = ±/L.

Quand le paraboloide est elliptique, P' et P" sont de même signe : si alorsP' est plus grand que P", les valeurs de <$> et de 0 ne sont réelles que dans letroisième système ; mais si P' est moindre que P" elles ne sont réelles quedans le second. On a ainsi deux séries de plans perpendiculaires au plan dexy ou à celui de xz. Si P"=P', on n’a plus qu’une seule série de plans,lesquels sent perpendiculaires à l’axe du paraboloide.

Quand le paraboloide est hyperbolique, P"et P'sontde signes différents; etil n’y a que le premier système qui donne ^ et 9 réels. Mais alors les coefficientsA et C sont zéro , en même temps que B ; et l’équation Ay’ 1 -}- etc. = o, seréduisant au premier degré, ne représente plus que des lignes droites.

Ainsi, il est démontré que les surfaces du second ordre , le paraboloide hy-perbolique excepté, peuvent être coupées selon des cercles , par des plans parallèlesconduits suivant deux directions différentes .

Et encore pourrait-on écarter toute exception, en regardant les droites,qu’on peut tracer sur le paraboloide hyperbolique, comme des cercles dontles rayons sont infinis.

On îemarquera sans doute que les centres des cercles de chaque sériesont sur un diamètre de la surface : car il en est ainsi de toutes les sectionsparallèles (634).

On doit remarquer aussi que la propriété de la section anti-parallèle ducône oblique est un cas particulier du théorème précédent.