troisième partir.
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Démonstrations de quelques théorèmes.
G 98 . Théorème. Supposons que des cônes aient pour bases les sections planes
d’une surface du second ordre , et pour semmet commun un point de cette surface;puis imaginons, par ce point, un plan tangent a la surface t les sections faitesdans les cônes et dans la surface, par un plan parallèle au plan tangent, serontdes courbes semblables et semblablement situées.
Quel que soit le point de la surface qui serve de sommet à ces cônes ,choisissons pour ligne des x le diamètre qui passe par ce point, et le plantangent pour plan d eyz. En dirigeant convenablement les y et les z , onpourra donner à l'équation de la surface la forme
P"**= 2 Q*.
[>]
Prenons pour la base d'un des cônes l’intersection de la surface par un planquelconque; et soit
M
x — *y+pz+y
l’équation de ce plan. Si l'on désigne par x', y', z', les coordonnées d’unpoint prisa volonté sur cette intersection, on doit avoir
[3] Pa/’+Py’+P'V’-uQ.r', x'= *y'-J t -£z'+y.
D’un autre côté, si on raine uno droite par ce point et par l’origine , scséquations seront
[ 4 ]
Or, cette droite est une génératrice quelconque du cône dont il s’agit; doncen éliminant x', y', z', entre [3] et [4] , on aura l’équatiou de ce cône.
yx l sx'
Des équations [4] on tire y = —, z'— —; et par suite les équa-
(Pa-M-Py+P"*’).
0 <-y+fc)x'+y.
Il n’y a plus qu’à éliminer x'; et on trouvera, pour le cônc>
Pa’+P'y + P'V
(•* — *y — £z)
y
Maintenant coupons ce cône et la surface proposée, par un plan parallèleà celui de/z. Pour cela, faisons x = a dans [î] et [5] : il vient
py+p'v
(a— ay — fiz) — Pv
y
En changeant le plan de la base du cône, les quantités «, /?, y, varient; maisdans ces équations les termes du second degré demeurent les mêmes, et parconséquent clics représentent toujours des courbes semblables et sembla-