CÉOMÉTRIF, ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 48T

celles (le la génératrice. Les coefficients a et b sont constants-, mais a et fisont deux indéterminées, qui doivent être assujetties à la relation nécessairepour que la génératrice, dans toutes ses positions, rencontre la courbe. Pourque cette intersection ait lieu, il faut que les équations [i] et [ 2 ] soientsatisfaites par les mêmes valeurs de x, y, s; donc, si on élimine ces troisquantités entre les quatre équations, on aura la relation cherchée. Je dési-gnerai cette relation par

[3] F(*,yS) = o.

Elle doit toujours exister lorsque les équations [ 2 ] sont celles d’une généra-trice ;et par conséquent, pour obtenir l’équationdu cylindre, il suffit d’élimi-ner a et é entre les trois équations { 2 ] et [3]. Les équations [ 2 ] donnenta =x — as, fi—y — ht; et en mettant ces valeurs dans [3], on aura, pourle cylindre ,

[4] " F (x—as, y — bs).

•jtH. Comme exemple , prenons le cas où la directrice est un cercle situédans le plan de xy; et soient

s=so, {x—ff+iy—gy = r%

les équations de ce cercle. Pour qu'il soit toujours rencontré par la généra-trice , on aura la condition

et par suite on trouvera, pour le cylindre à base circulaire, l’équation(.x—az—ff+(y—bz—gÿ = r\

yiC. Remarques. De quelque manière qu’un cylindre soit déterminé, onpeut toujours le concevoir comme engendré par une droite qui se meut pa-rallèlement à elle-même le long d’une courbe tracée sur ce cylindre ; et delà il suit que tous les cylindres peuvent être compris dans l’équation [4]. 11est bien entendu que , pour des cylindres différents, les valeurs de a et bpourront être différentes, ainsi que la forme de la fonction indiquée parlalettre F.

Il est faciled’ailleurs de reconnaître à posteriori que cette équation [4], oumême celle-ci

[5] F(oa--(-èy-f-ca+d, a'x-i-b’y+c's+d’) = 0 ,

qui paraît plus générale , ne peut renfermer que des surfaces cylindriques.En effet, pour satisfaire à cette dernière, il faut qu’on ait en même temps

0 '

[6] ax+by+cs+d=.cL, a'x-\-b'y-\-c's + d' fi,

a. et fi étant des quantités quelconques assujetties seulement à la relationF (a, fi)—o. Or, quelques valeurs qu’aient a et fi, il est clair que les équations[6] déterminent des droites parallèles. Ainsi la surface peut être regardéecomme engendrée par une droite qui se meut parallèlement à elle-même ;par conséquent elle est une surface cylindrique.