488 TROISIÈME PARTIE.

nombre de paramètres, on pourrait donner des valeurs particulières à quelques-uns, pour n’en conserver juste qu’un de plus qu’il n’y a d’équations decondition ; ce qui donnerait lieu à une surface. Mais, en changeant les valeursattribuées à quelques uns des paramètres, on pourrait obtenir d’autres sur-faces : c'est-à-dire que la question proposée pourrait se résoudre par une in-finité de surfaces différentes, ce qui est contraire à la supposition.

3 ° Entre les équations de condition et celles de la génératrice, on éliminetous les paramètres indéterminés et l’équation résultante est celle de la sur-face demandée. En effet, observez d’abord que le nombre total de ces équa-tions surpasse d’une unité celui des paramètres , de sorte que l’élimination,en général, est possible ; et ensuite faites bien attention que l’équation ré-sultante, ne conservant aucune trace des paramètres, doit être satisfaite parles coordonnées x, y, z, d’un point quelconque appartenant à telle positionqu’on voudra de la génératrice, ce qui revient à dire que cette équation estcelle de la surface décrite par cette génératrice.

Remarque. C’est pour donner à la règle toute la généralité possible, quej’ai prescrit en premier lieu de poser les équations de la génératrice sansavoir égard aux conditions de son mouvement, et d’établir ensuite les équa-tions qui résultent de ces conditions. Mais, dans un grand nombre de cas,ces conditions pourront être introduites, en tout ou en partie, dans les équa-tions même de la génératrice ; et alors il ne faudra plus y avoir égard dans lasuite du calcul. Par exemple, si une droite doit passer par un point donnédont les coordonnées sont a, b, ç, on prendra, pour cette droite, les équa-tions x — a = a{z — c), y — b — ji{z — e) j et dès lors la condition dont ils’agit se trouvera remplie.

Dans quelques cas, au contraire, il sera plus commode d'employer desindéterminées auxiliaires : mais elles auront toujours avec les autres indé-terminées certaines relations dont il faut avoir grand soin de tenir compte.

Surfaces cylindriques.

712. On nomme surface cylindrique, ou simplement cylindre, la surface en-gendrée par une droite qui se meut parallèlement à elle-même.

713. De cette définition il suit, comme conséquence immédiate, que lecontact d'un plan avec un cylindie a lieu suivant une génératrice tout en-tière. En effet, le cylindre peut être assimilé à un prisme dont les faces sontinfiniment étroites! et il est évident, d’après les considérations exposéesn° 65 g, que le plan d’une de ces faces, prolongé indéfiniment, est tangentà la surface en tous les points d’une génératrice.

714. Problème. Étant donné une dioite à laquelle la génératrice doit êtreparallèle, et une courbe directrice sur laquelle elle doit toujours s'appuyer, trou-ver l'équation du cylindre qu elle décrit.

Soient [1] /(x,/,z) = o, f,(x,y, z) = o,

les équations de la courbe directrice ; et soient

[2] xzszaz- f-«, y=zbz+^,