GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 489

nîo. On peut donc assimiler un cône à une surface pyramidale d’une infi-nité de faces; et par suite on conclut, comme pour le cylindre, que le contactd'un plan avec un cône doit avoir lieu suivant une génératrice entière.

•jii. Problème. On donne le sommet d’un cône , et une courbe sur laquelle lagénératrice doit toujours s'appuyer : on demande l’équation du cône.

Soient a, b, c, les coordonnées du sommet ; et soient

[i] /(a\r,*)=o, /,(*./.*)=o.

les équations de la directrice. Puisque la génératrice passe par le sommet,ses équations sont de la forme

[a] te—a = a(s—c), y — b = fi(z—c) ;

et, puisqu’elle doit toujours s’appuyer sur la directrice, il existe entre a. et fiune relation qu’on obtiendra en éliminant x, y, z, entre [ 1 ] et [a]. De làrésulte une condition que je représenterai par l’équation[3] F(«i fi) — o.

Alors il n’y a plus qu’à éliminer a. et fi entre les équations [a] et [3]; et onaura l’équation du cône,

J 22 . Prenons pour exemple le cône oblique à base circulaire. Afin de sim-plifier, je choisis le plan de cette base pour celui de xy, et son centre pourl’origine. De cette manière les équations de la base serontz— o, x’ + y’=r 1 .

Pour que la génératrice rencontre cette circonférence , on a la condition(a — *c)’ -f- (i — fie)*— r 1 ;

et en éliminant, de cette équation , * et fi au moyen des équations [a], ontrouve l’équation du cône ; savoir,

(az — cx)’-|-(Jx — cyf— r’(s — c) 1 .

^a3. Remarques. Toute surface comprise dans l'équation [4] es^yn cône.En effet, si on pose

[5] x—az=o.(z — c), y-b=fi{z — c),

on aura F(a, fi)=zo : de sorte que les coordonnées x, y, z, de la surfacedevront satisfaire aux deux équations [5], pourvu qu’on assujettisse a. et fi àla condition F(«, fi) — o. Or les équations [5] représentent une droite quipasse constamment parun point fixe dont les coordonnées sont a, b,c; doncla surface dont il s'agit est un cône.

Ce qui caractérise l'équation [4], c’est que x, y, z, n'y entrent qu'avecx — a y — b

les rapports-, ’- ; et de là il résulte que l’équation du cône doit

z — c z — c

être homogène par rapport aux trois quantités x— a, x— b, z —c. Si le som-met était à l’origine on aurait a — o, b=z o, c — o; et l'équation serait ho-mogène par rapport aux coordonnées x, y, z.