490 TROISIÈME PARTIE.
7»4' Problème. Trouver l’équation d'un cône dont ou connaît te sommet, etqui est.circonscrit à une surface donnée.
Soit [6] f(x,y, z) = o,
l’équation de la surface donnée : ce sera déjà une des équations de la courbede contact.
Nommons toujours X, Y, Z, les trois polynômes dérivés de /(x, y, z) ;x', y', z', les coordonnées courantes du plan tangent ; et x, y, z, les coordon-nées d'un point de la courbe de contact. En ce point, l'équation du plan tan-gent sera
X (V—x)+ï (y V-y) +Z(e'—z) = o.
Mais ce plan devant aussi être tangent au cône, passe parle sommet donné jdonc, si a, b, c, sont les coordonnés de ce sommet, on aura
[ 7 ] X(a-x)+Y( 4 -y)+Z(c-z)- 0 .
Cette équation appartient encore à la courbe de contact, et achève de la dé-terminer. On est ainsi ramené aux données du n° 72 j.
725. Supposons que l'équation [ 6 ] soit du degré m, et que, A x r y q z r étantun terme quelconque de ce degré, on ait
/(.ce, y, z) zzz h.x v y'‘z r -\-etc. :
les polynômes dérivés X, Y, Z, seront
X = pAx p “ I y l, .z , '-f-etc., Y — jAx ! ’y' , ~'z r -|-etc., Z = rAx p yV~ , -fetc.
D'équation [7] peut s’écrire ainsi
oX+i Y-|-cZ = Xx+Yy-f Zz.
En remplaçant X, Y, Z, par leurs valeurs, le premier membre est évidem-ment de degré inférieur à m; et quant au second, on sait (660) qu'il se réduittoujours à un degré moindre que m. Après l’avoir réduit, je le désigne parV ; l'équation [7] devient
[8] «X+iY-fcZ = V.
Et alors elle montre que la ligne de contact est sur une surface d'ordreinférieur à m. Donc, si la surface donnée est du second ordre, la ligne decontact sera plane. Ces conséquences sont déjà connues (G 63 ).
726. Comme application plus spéciale, cherchons le cône qui a son som-met à l’origine, et qui est circonscrit à la sphère dont l’équation est
[9] O—/)’+(/ — §•)’+(* — hyzzzr*.
Alors on a a = o, i = o, c=o, X=2(x—/), Y = 2(y — g), Z = 2(z— b); etl’équation [7] sera
(x—/)x+(y—g)y+(z — h)z = o,
ou, en réduisant au moyen de l’équation [9] et posant/” +g’ , -f A”= tV,
[9] fx+gy+hisziF—r*.