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GÉOMÉTRIE ANALîThJDE A TROIS DIMENSIONS.

Mais les équations de la génératrice donnent

A /',*) = °> A (•*', /, *) = O ;

donc, pour connaître la surface, il n'y a qu’à éliminer x r , y', entre ces deuxéquations et la précédente.

Par exemple, supposons que la génératrice soit une droite ayant pouréquations

a:=Mü+N, jr=M'*+N':il faudra éliminer a;'et y' entre les trois équations

ar’-t-y‘=.r' 1 +/% x'.-=M*+N, /=M'*+N';et, pour la surface, il vient

(Ma+ N>»+ (M'a +NT = x’+/\

Cette équation se simplifie en choisissant ponp ligne des x celle sur la-quelle se mesure la plus courte distance entre la génératrice et l’axe derévolution, qui est déjà pris pour ligne des z. Alors la génératrice rencontrela ligne des x, et est parallèle au plan de yz. En conséquence , pour seséquations, je prendrai

x=za, y=.bz :

c'est-à-dire que M = o, N=o, M'=4, N'=o; et par suite l'équation dela surface se change en

*•’+/’= 4V+a’.

Le lecteur a sans doute reconnu ici-l’hyperboloïdc de révolution à unenappe. La donble génération de cette surface est évidente; car l'équationci-dessus reste la même, quoiqu'on y change b en — b.

y36. Problème. i * nxe et la génératrice d’une surface de révolution étant don-nés, trouver iéquation de cette surface, quelle que soie la position de l'axe.

Soient [a] f{x, y, z) = o , ffx, y, z) =z o,

les équations de la génératrice. Je désigne par o, b, c, les coordonnées d’unpoint prisa volonté sur l'axe de révolution , et je mets les équations de cetaxe sous la forme

[£] x —« = A(a—e), y —i=B(s—c).

L’équation d’un plan perpendiculaire à cet axe, et celle d’une sphèredont le centre est sur ce même axe, au point quia a, b, c, pour coordon-nées , sont

M A.r+Iî y+zrzxct, (x—ay+(y—by+(z—cy = £.

On peut considérer ces équations comme celles d’un parallèle quelconquedelà surface, pourvu qu’on établisse entre a et /2 l’équation qui résultede l'élimination de x,y, z, entre [a] et [y]. Je représente encore cette équa-tion par

M

F (a, 4)= oî