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TROfSIÉME PAÜflE.

dans lesquelles a et/S sont dcùx indéterminées. Mais ( pour que le cerclerencontre la génératrice, les équations [ 1 ] et [a] doivent être satisfaites parles mêmes valeurs de x, y, z; et de là résulte eritte « et /£ une relation queje représente par

F(<t, jÉ)= o.

C'est de cette équation qu’il faut éliminer « et yé i au moyendes équations[ 2 ]; et la surface demandée sera renfermée dans l'équation résultante

F(■»< «’+r’)— °-

[4]

Si l’équation [3] peut se résoudre par rapporta», et qu'on en tire » = <?(/?),l'équation [4] pourra s'écrire ainsi :

* = (•*’+/■)■

Jusqu'ici la ligne génératrice était tout à fait quelconque. Supposonsmaintenant que ce soit uge ligne située dans le plan de xz, et que ses équa-tions soient

y— o, /(a, ar) = o.

[5]

En prenant Taxe des s pour axe de révolution, les équations du cercle sont,ainsi qu '011 l’a dit plus haut,

• z = a, x 2 +/’=£.

I’our qu'il rencontre la génératrice, on a la condition

/(*. Vh—o ,

/"étant le même signe de fonction que pour la génératrice ; et, en éliminant* et /S, il vient pour la surface

/(a, f/x 2 +f‘) - ' 0 .

Ici/est encore le rtiême signe de fonction: ainsi, il suffit de mettrey 1 x’'-^y ‘, au lieu de x, dans l’équation /(a, x)—o de la génératrice. Cerésultat s’aperçoit Sur-le-champ en remarquant,d’une part, que si les coor-

données d’un point quelconque de la surface sont#, y, a, ce point sera sur

un parallèle dont le rayon est égala l/x'-f-y*; et, de l’autre , qu’il doitexister, entre a et J/ x'+ÿ 1 , la même relation qu’entre les deux coordon-nées de la génératrice située dans le plan de xz.

Quelle que soit la ligne génératrice, la solution du problème peutencore se présenter comme il suit. Pour la génératrice, prenons toujoursles équations

f{x, y, z) = o, /,(#, y, a) = o:

et soient x, y, a, les coordonnées d’un point quelconque de la surface derévolution ; et x’, y, a , celles du point qui a la même coordonnée a sur lagénératrice. Le premier point est une des positions que vient occuper lesecond pendant la rotation de cette génératrice. .Par conséquent il est à lamême distance de l’axe, et l’on doit avoir