GÉOMF.TRIK ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 497

Donc, quelle que soit la surface réglée, les équations de la génératricepeuvent s’écrire ainsi

X = £<?(*)+«, r = î~!-(a)4-A;W:

les lettres 4. Z indiquant des fonctions, et a. étant une indéterminée dontla variation fait mouvoir la génératrice.

Au lieu de supposer a, b, fi, fonctions de a, 011 peut assujettir ces quatrequantités à trois équations de condition; et alors, pour avoir la surface, ilfaut éliminer a, a, b, fi, entre ces équations et les équations [1].

Et quant à ces équations de condition, elles résultent ordinairement dumode particulier de génération que l'on considère. Ainsi, elles exprimerontque la génératrice se meut sur trois lignes données ; ou sur deux lignes, enrestant parallèle à un plan ; ou bien sur une ligne seulement, en demeurantconstamment parallèle à un plan et tangente à une surface donnée ; ou en-core de bien d'autres manières. La méthode à suivre, pour soumettre ces dif-férents cas à l'analyse, est maintenant assez connue, et de nouveaux déve-loppements seraient inutiles.

Si 011 veut que la surface réglée soit développable, il faut choisir les rela-tions des quantités a, b, a, fi, de telle sorte que chaque position de la généra-trice soit dans un même plan avec la position infiniment voisine. Mais, pourexprimer cette condition dans l'analyse, il faudrait emprunter au calcul dif-férentiel des considérations qui lui sont propres, et qui ne sont pas de natureà trouver place dans cet ouvrage.

Les propriétés les plus importantes des surfaces gauches, et qu’on ale plus souvent occasion d'appliquer, sont plus faciles à établir par la géomé-trie que par l’analyse. Sur ce point, je pourrais renvoyer à mon traité deGéométrie descriptive; mais il sera plus commode pour le lecteur de trouverici cette théorie.

Et d'abord, démontrons qu'on peut en général décrire une surface enfaisant mouvoir une droite sur trois directrices données. A cet effet, prenezà volonté un point de la première directrice pour sommet d'un cône engen-dré par une droite qui s'appuierait sur la seconde directrice. Ce cône vacouper la troisième directrice en un point ; et la droite menée par ce pointet par le sommet du cône, étant tout entière sur le cône , doit rencontrer laseconde directrice : cette droite s’appuie donc sur les trois lignes à la fois.On peut répéter cette construction en prenant des cônes qui aient successi-vement pour sommets tous les points de la première directrice ; et alors il estclair que la droite qui les rencontre toutes trois, changeant ainsi continuel-lement de position, détermine une surface. Il est évident d'ailleurs que lamême surface peut être produite en prenant pour directrices trois lignes quel-conques tracées sur cette surface.

y 4 2 - Quelles que soient les courbes qu'on prenne pour directrices d unesurface gauche, on peut les considé . comme des polygones d'une infinitéde côtés, et par suite la surface élit .nôrne comme composée d'une infinitédélacer gauches, dont chacune est.une portion d’h y perboloïde ou de para-boloïde, indéfinie en longneur ) <j.»tis d'une largeur infiniment petite. Cela

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