498 TROISIÈME PARTIE.

signifie, en (Vautres termes, que si on prend sur cette surface (fig. 5j) deuxgénératrices G et G'aussi voisines qu’on voudra, lesquelles rencontrent lesdirectrices aux points a, b, c, a', V , c’ ; si on prolonge les éléments de courbefia', bb’, ce', ce qui donne les trois tangentes ar, bs, cl; et si on fait glisserla génératrice G sur ces trois tangentes , on obtiendra ainsi une nouvellesurlace qui aura avec la première une partie commune, comprise entre lesgénératrices G et G'. De là on conclut qu’en chaque point de la droite G,le plan tangent à l’une des deux surfaces l’est aussi à l’autre.

Pour mettre cette proposition dans un plus grand jour, ne supposons pasd’abord les génératrices G et G' infiniment rapprochées; menons (fig. 55)les sécantes aa’r, bb's , cc’l, et prenons-les pour directrices d’une surfacegauche du second ordre (qui pourra être un hyperboloïde ou un paraboloïde).Il est démontré (CSi, G8_q) qu’il existe sur cette surface un second systèmede génératrices, qui toutes rencontrent les premières : soit mp l’une d’elles,qui coupe G et G' en m et «. Imaginons que G' se rapproche de plus gn plusde G : les lignes ar, bs, et, changeront de position , et avec elles la surfacedont elles sont directrices. En même temps la droite mp change aussi, maiselle ne cesse pas d’être située sur cette surface, quelque petite que soit ladistance de G' à G ; donc il en est encore de même au moment où ces gé-nératrices coïncident. Mais alors ar, bs, et, deviennent tangentes aux direc-trices de la surface proposée, et mp devient tangente à cette même surface :ou, ce qui est la même chose, mp devient tangente à une certaine courbetracée par le point m sur cette surface, et le long de laquelle on peut sup-poser que se meut le point «. Donc, quand les génératrices G et G' sontréunies, le plan amp devient tangent en m à la surface proposée : et remar-quez en outre que ce plan ne cesse pas d’être tangent à la nouvelle surface,puisqu'il contient toujours deux droites ont et mp situées sur cette surface.

Comme ces raisonnements s’appliquent à tous les points de la génératriceG , on conclut, comme plus haut, que ri, par les points où tes trois courbesdirectrices d’une surface gauche sont rencontrées par une de scs génératrices , onmène des tangentes a ces courbes , et quon prenne ces tangentes pour directricesd’une surface gauche du second ordre, cette nouvelle surface sera tangente à lapremière dans toute l’étendue de la génératrice commune ; c’est-à-dire que lesdeux surfaces ont même plan tangent en chaque point de cette génératrice.

De ce théorème découle cette conséquence importante, que deux surfacesgauches qui ont trois plans tangents communs le long d’une même génératrice ,sont tangentes l’une a Vautre en tous les points de cette génératrice. En effet,si on mène trois plans quelconques par les points de contact, ils couperontles plans tangents suivant, des droites tangentes aux deux surfaces à la fois :or la surface gauche du second ordre, qui a pour directrices ces trois tan-gentes, doit avoir, en chaque point de la génératrice commune , le mêmeplan tangent que les surfaces proposées; donc aussi ces dernières sont tan-gentes l’une à l'autre dans toute l’étendue de cette génératrice.

Pour former des voûtes on emploie quelquefois un ensemble de plu-sieurs surfaces gauches. Dans ces cas, on doit faire en sorte que deux sur»