PROPORTIONS ET PROGRESSIONS.

4 '■l

■H

: 9 . 17 . 25

Quand on a plusieurs équidifférences (ellesque

7 . 2HI. C:! 5 : (0 . (2

9 . 15 : 8 . 14

On obtient encore une équidifférence enajoutant toutes celles-ci terme à terme. Ainsi

7 + 3 + 9. 2 + 5+15: H +10 + 8-0+12+1'.

ou 19.22 : 29.32

Lorsque l'on multiplie tous les termes d'uneéquidifférence par un même nombre, les pro-duits forment encore une équidifférence.

Ainsi de 7.2 : 11.6on déduit 7X8.2X8:11X8.0X8ou 50.10 : 88.48.

— 5 : 30 : 180

Quand on a plusieurs équiquotients tels que2t : 3 : : 14 : 2H : 22 : : 4 : 85 : 25 : : 2 : 10

On obtient encore un équiquotient on mul-tipflanHo us les précédents terme à terme.Ainsi :

21 X H X 5 : 3 X 22 X 25 : : 14 X 4 X 2 :

2 X 8 X 10ou

<155: 1(150 : : 112 : <00.

Lorsque l'on élève tous les termes d'un équi-quolient à une même puissance , les quatretermes résultants forment encore un équiquo-tient. Ainsi de 2( : 3 : : 14 : 2 on déduit :

21 3 : 3 3 : : I i 5 : 2 3 ou 9201 : 27 : • 2711 : 8.

l'nOMUÉTKS EXCLUSIVES ACX KQCIQCOTIENTS.

De toute proportion par quotient telle que21 : 3 : : 14 : 2

on peut déduire la proportion suivante21 plus ou moins un certain nombre de fois 3est a 3, comme 1'. plus ou moins le mêmenombre de fois 2 est à 2. Ce qui s'exprimeainsi d'une manière abrégée :

21 + n X 3 : 3 :: Il + n X 2 : 2i n est te nombre de fuis que l'on ajoute

chaque conséquent à son antécédent ou qu'onle retranche. I

De cette propriété fondamentale on peuten déduire une foule d'autres , en opérantsur les sept proportions auxquelles donne lieula proportion 21:3:: 14:2 par de simpleschangements dans l'ordre des termes. Les mo-difications les plus souvent usitées sont les sui-vantes :

21 + 3 : 3 :: Il ± 2 : 2et 21 + U : 3 + 2 : : 11 : 2.

DES PllOr.HKSSlONS par difeérence et par qcotiext.

On appelle progression par différenceune suite de termes tels que le rapport pardifférence de deux termes consécutifs quel-co. ques soit constant.

Telle est la suite 22,19, 16,13, 10... qui s'é-crit auiüi :

+ 22 . 19 . tü . 13 . 10...et quul'on énonce : 22est à 1 9comme 19est à <6comme 10 est à <3 comme 13 est à 10, etc.

La progression précédente est décroissante,et a pour taison 3. Au coutroire ta pro-gression

4 t . 4 . 7 . 10 . 13 ...

qui a encore pour raison 3 est croissante.

On terme quelconque d'une progression pardifférence est égal au premier terme aug-menté ou diminué d'autant de fois la raisonqu’il y a de ternies avant celui que l'on con-sidère, suivant que la progression est crois-sante ou décroissante.

Ainsi 10 =22 — 3, 10 =22 — 3 X 2. 13 =22 - 3 X 3. et 4 = I + 3, 7 = 1 +3 X 2, 10= 1+3X3.

La somme de deux termes également dis-tants des extrêmes est égate à la somme desextrêmes dans une progression par diffé-rence.

Ainsi 22+ 10= 19 + 13= 16 + 10 = 32.

La somme des termes d’une progression pardijférence est égale è la moitié du résultatque l'on obtient en multipliant la somme desextrêmes par le nombre des termes de la pro-gression. Ainsi :

/22 +10\

22+19 + 10 + 13+ I0=(~£— )x 5 = 80.

Pour insérer entre deux termes donnés desmoyens équidifférents ou arithmétiques,

On appelle progression géométrique oupar quotient une suite de termes tels que lerapport par quotient de deux termes consé-cutifs quelconques soit constaDt. Telle est lasuite 48, 24, 12, 0, etc., qui s'écrit ainsi :

+4- 48: 24 : t2 : 6 : 3

et que l'on énonce : 48 est à 24 comme 24 est à12 comme 12 est à 6 , etc.

La progression précédente est décroissanteet a pour raison Au contraire, la progres-sion

+4-3 : 0: 12 : 24 : 48 :qui a pour raison 2 est croissante.

Un terme quelconque d’une progression parquotient e>t égal au premier ternie multipliépar la raison elcvée u une puissance, dont ledegré est marqué par le nombre des termesqui précèdent celui que l'on considère.

Ainsi 24 = 48 X 1‘- = 48 X (^) 2 .

C = 18 X (i) 3 Û0=JX-JJ! = SX! î ,21 = 3 y 2 3 , 18 = 3 X 2*.

Le pivduit de deux ternies également dis-tants des extrêmes est égal au produit desextrêmes dans une progression par quotient.

Ainsi 48 X 3 = 24 X 0= 12 X 12 = 144.

Le produit des termes d’une progression parquotient est égal à la racine carrée du ré-sultat que l’on obtient en élevant le produitdes extrêmes à une puissance marquée parle nombre des termes de la progression.

Ainsi 3 X 0 X 12 X 24 X 48= V 3 5 X 48 5 -=248832.

Pour insérer entre deux termes donnés desmoyens proportionnels ou géométriques.