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ALGÈBRE.

- 1 3 g * /> 2 c d __ 3 a 2 6 rf

— 8 a 2 c 2

Dans ce dernier exemple . l’exposant 2 de lalettre c au diviseur surpassant d'une unité1 exposant \ de la même lettre c au dividende,si l’on avait opéré suivant la règle des expo-sants on aurait pu écrire c au numérateuravec l’exposant - t, et on aurait eu pour quo-tient ,

JL a~ b c~ d.

O

— m t

En général on a a =

Celte notation des exposants négatifs esttrès-commode en beaucoup de cas.

Ou a aussi, d’après la règle des eiposauts,

tO a A — i&ab + 51m’ b* -{- 4 ab— tOrt 4 + + fa * 2 b"

— 40a 3 b + 57« 2 b~ + ha b+ 40a 3 6 - 32 a 2 b* - 2hab*

25 a 2 b' — 20 ab*- 25 a'b 2 + ma b 1

La division de deux polynômes l’un par l'au-tre se fait en les ordonnant par rapport auxpuissances croissantes ou décroissantes de lamême lettre; en divisant le premier terme dudividende par le premier terme du diviseur, ceuui doune le premier terme du quotient ; enretranchant du dividende le produit du divi-seur par ce premier terme ainsi obtenu; endivisant de nouveau le premier terme du reste,par le premier terme du diviseur, ce quifournit le second terme du quotient; et ainside suite Jusqu'à ce que l’on arrive à un restenul, ou dont le premier terme ne soit pas divi-sible par le premier ternie du diviseur.

Nous donnons ci-après le tableau des calculsd'une division algébrique qui se fait exactement

— <5^,4 1 — 5a 2 + hab + Zb~

J — 2« 2 + 8 ab — 5 li"

- 15i 4

- 15 i 4+ 15 /; 4

0

On peut développer le quotient en série d'unnombre indétiui de termes, lorsque l'opérationne se termine pas exactement.

On trouvera ainsi :

:=<+— +

2 3

i a

-7 + -r + etc.

ou en employant la notation des exposants né-gatifs,

x - t 2—2 3 —3

—— = j -{ ax a x -f a x -f

4 — 4

a x -f etc.

S 3. Résolution des équations du premierdegré.

Notions préliminaires sur les équations engénéral. — Résoudre des équalioos, c'est entirer les valeurs des inconnues. La résolutiondes équations, en général, est le problème leplus élevé de l’algèbre.

Une égalité se réduit a une identité , lors-que les deux nombres séparés par le signe.d’égalité sont égaux indépendamment de toutevaleur particulière attribuée aux lettres qui yentrent. Telles sont les égalités

a 2 — b 2 = (a + 6) [a — b),a 2 -2ff&+* 2 = |ff-ii 2

Toute équation doit devenir une identitélorsque l’on y substitue, à la place des iucon-uues, leur véritable valeur.

Une équation est numérique, lorsqu'il n'ya que les valeurs des in< ouuues qui soient re-présentées par des lettres : elle est littéraleou algébrique lorsqu'il y entre des lettres quireprésentent des quantités connues.

Avant de résoudre les équations, il faut leurfaire subir ries transformations de diverse na-ture août voici les plus simples :

ün peut faire passer un terme quelconqued’un membre dans un autre en le changeantseulement de signe

2o On peut multiplier ou diviser les deuxmembres d'une équation par un même nom-bre.

far conséquent, on chassera les dénomina-teurs d'une équation, en réduisant tous lestermes au plus petit dénominateur comuiuu,et en supprimant ensuite ce dénominateur.

On simpliUera aussi une équation en divi-sant tous les termes par leur plus grand com-mun diviseur.

Lorsqu'une équation a été aiDsi 6mipliUér,on évalue son degré d’après la somme la plusforte des exposauts des inconnues dans unmême terme.

L’équation 5 x — 3 ;/ = 4 z + I est du pre-mier degré parce que dans aucuu terme lasomme des exposants des inconnues x, y, -ne surpasse 1 .

L’équation ax 3 — 21 x 2 zy-\-ab z '=.by 3est du quatrième degré, parce que dans lesecond terme la somme des exposants des in-connues est 2 4-1 + t- Cette équation est deplus homogène, c’est-à-dire que la-somme desexposauis des lettres connues ou inconnues quientrent dans tous les termes est coustaute etégale à 4.

Lorsqu’une équation renferme plusieurs in-connues, elle peut être vériQée d'une inimitéde manières différentes ; elle admet un nombieinüni de solutions. En effet en donnant desvaleurs arbitraires quelconques à toutes Usinconnues, à l'ex>eption d'une seule, la valeurde cette dernière se déduit de i'equatiou.

11 faut, en général, autant d'équations qued'inconnues pour que le système de ces incon-nues soit complètement déterminé.

Lorsque le nombre des équations surpassede m le nombre des inconnues, on ne peuitrouver de solution ou système d’équationsproposé, qu'aulant que l'on peut satisfaire am équations de condition euu e les nombres etles constantes qui eutreut dans ce système. .

Résolution de l'équation ou premier degrka une seule inconnue. — D'après les transfor-mations précédentes, toute équation du pre-