DEGRE.

ÉQUATIONS OU 1" ET DU 2*

H

mier degre à une seule inconnue peut se ra-mener à la forme

ax = b

a et b étant des quantités constantes. De làun tire

b

x == —a

Cette valeur de x est ce que Ton appelle uneformule ; elle représente les opérations à fairepour obtenir l'inconnue que l'on cherche.

RESOLUTION GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS DO PRE-MIER degré a plusieurs iNCO.NNOEs. — Le sys-tème de deux équations du premier degre àdeux incoiiuues peut toujours se ramener à laforme

ax + bi/ — c .Il)

a'x+b f y—d .(2|

Pour résoudre ce système, il y a plusieursméthodes :

to par comparaison. On tire de chacunedes deux équations la valeur de la même in-connue, x par exemple, comme si y étaitconnue ; et on égale les deux valeurs de x , cequi fournit une équatiou qui ne renferme (dusque y. Ou obtient alors y. On peut de mêmeavoir#.

2° Par substitution. On substitue dansla seconde équation la valeur de x par exem-ple, tirée de la première; et on a encore uneéquation unique en y.

3 U Par soustraction. On multiplie les deuxmembres de la prem.ère équation par a', lesdeux membres de la seconde par a, a et a',étant pris avec leurs signes, et on retranche laseconde des équations ainsi obtenues de la pre-mière ; x disparait, ou a une équation en y.

Cette opération, par laquelle on fait dispa-raître une ou plusieurs imonnues d'un systèmed’équoiions proposées, s'appelle élimination.

Quel que soit le procédé d'élimination suivi,les valeurs de# et de y, tirées de l'ensembledes équations H) et (2), sont_ c!/ - bd /■al/ — bu'

N' = add'

— cd'a"N"=al/d"

- dl/a''

- add" -|- ca'd" — da'd' dda"

- ad'b" + da'l/' - ba'd" -f- bd'a"

On voit que pour une équation à une seuleinconnue, le nombre des termes du numéra-teur et du dénominateur de l'inconnue est de 1.

Ce nombre est de 2 ou de 1 X2, pour deuxéquations à deux inconnues.

tl est de Ü ou de t X 2 X 3 pour trois équa-tions à trois inconnues.

Il serait de 24 ou de t X 2 X 3 X 4 pourquatre équations à quatre imonnues; de 120ou de t X 2 X 3 X 4 X 5 pour cinq équutions àcinq inconnu s, et ainsi de suite.

La loi de formation des numérateurs et desdénominateurs des inconnues est aussi belleque simple.

Pour deux inconnues, prenez les coefficientsa ei b des im onnues. et formez les permuta-tions ab, ba. que vous séparerez par le signe—, en mettant un accent à la dernière lettrede chacune des permutations, vous aurez ledénominateur al/ — ba'. Le numérateur dectiacune des inconnues # et y s'obtient ensubstituant la quantité constante c, à la place} du coefficient de l'inconnue qu'il s'agit de rié-' terminer, et eu laissant les accents à leur place.Pour#, on substitue c à la place de a dansai/, et d à In place de a' dans bat, ce quidonne ci/ — bd.

Dans le ras de trois équations à trois incon-nues, on introduit successivement la lettre oà droite, au milieu et à gauche de chacunedes permutations abv t ba, ce qui en donnesix nouvelles; on place les trois secondes aprèsles trois premières, en les séparant alternati-vement par tes signes — et + ; on met eniln unaccent à la seconde lettre et deux à la troi-sième. C'est ainsi qu'est formé le dénominateurD. Le numérateur de chacune des inconnuess'obtient en substituant, dans le déuominateur,la quantité constante au coefficient de cette in-connue, et en laissant les accents à leur place.

Celte loi de formation est générale.

S 4. Des équations du second degré.

ad — va'

ai/ — ba'

Pour résoudre les trois équations du premierdegré à trois inconnues,

a. x + b y -f- c z = d |a'x + 1/ y d z = d! \a"x-l-l/ / y+d / z = d" (

au moyen d’une des trois méthodes précé-demment exposées, ou éliminera l'une des in-connues entre la première et la seconde; puisentre la seconde et la troisième; on aura alorsdeux équations à deux inconnues entre les-quelles on éliminera encore une des inconnues,et il viendra une équation finale du premierdegre ne renfermant plus qu'une inconnue. Dela déteruiinaüou de celle-ci on remontera fa-cilement à la détermination des autres, parvoie de substitutions suc<essives.

Quelle que soit la méthode d'éliminationsuivie pour te système des équations (3), ouobtiendra pour les inconnues les valeurs

#

JV k _N"

D ’ V D ’ D ’

dans lesquelles ou a :

D -=ab'c" — adb ,f - j- ca'b" — ba'd' bd a"

— ci/ a"

N = di/d' - ddb" 4- cd'W - b<rd’ 4- bdd"

- ct/df'

RÉSOLUTION DR L’ÉQOaTION BINOME. — L’éqUa-

tion la plus simple du second degré à une seuleinconnue est celle oui ne renferme pas la pre-mière puissance de l'inconnue. Elle peut semettre sous la forme <7# 2 = b ;

„ . 2 b

d'ou x — -

!«)

On met le double signe +> {plus ou moins\,b

parce que le carré -• peut provenir d’une ra-

cine négative —

b

a'

tout aussi bien que

d'une quantité positive

d

b

a

Résolution de l’équation complète. — L’neéquation complète de second degré peut se ra-meuer à la forme

x 1 + px + q = o

p et q étant des quantités connues, entières oufractionnaires. positives ou négatives.