DES ÉQUAT. DIFFÉRENTIELLES A DEUX VARIABLES. 46gIl suit de là qu’une courbe quelconque répond non-seulement à lasolution particulière de l’équation différentielle qui comprend toutes sestangentes; mais aussi à la solution particulière de 1 équation différen-tielle qui comprend tous ses cercles osculateurs , et en général de l’équa-tion différentielle qui appartient à l’ensemble de ses osculatrices demême espèce, quel que soit d’ailleurs 1 ordre du contact. Ces diverseséquations différentielles se formeraient aisément en éliminant commeune constante arbitraire l’abscisse du point de contact, quantité dontla valeur particularise l’osculatrice relative à chaque point de la courbetouchée. Si, par exemple, on exprimait en x , les constantes a, fi et yde l’équation

ipc' — «)‘ 4- (/ — /3) 2 = y (221) ,

l’on aurait l’équation commune à tous les cercles osculateurs, et com-binant cette équation avec sa différentielle prise par rapport à x seu-lement, on obtiendrait l’équation différentielle de tous les cercles dontil s’agit, et avec chacun desquels la courbe proposée a un contact dusecond ordre.

Au lieu de prendre x pour constante arbitraire, on peut laisser l’unequelconque des quantités a. } fi , y, puisque ce sont des fonctions de xen vertu des équations (i), (2) et (3) du n° 221 ■, et si de ces équationson élimine x , y et ses coefficiens différentiels, au moyen dé cellede la courbe proposée , on obtiendra, entre a , fi et y, deux équations,à l’aide desquelles on réduira l’équation rapportée cndessus, à ne contenirqu une seule constante arbitraire.

Ces remarques montrent qu’il est possible de former un nombreinfini d’équations différentielles du premier ordre qui aient pour solu-tion particulière une équation primitive donnée. Ce problème , dontM. Lagrange s’est occupé le premier, revient à chercher l’équationdifférentielle commune à toutes les osculatrices d’une courbe donnée;et l’on voit que la recherche de la courbe qui représente la solutionparticulière, est en quelque façon l’inverse du problème des osculations,puisque l’on se propose de trouver la courbe touchée, lorsque l’onconnaît les courbes touchantes. '

On a vu dans le n e 646, qu’on pouvait, par un changement devariables, dépouiller une équation différentielle de sa solution parti-culière. Les courbes comprises dans l’integrale exprimée par les nou-velles variables, ne sont plus touchées par la courbe correspondante àla solution particulière, ou, comme le dit M. Poisson, elles n’ont plus

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