CHAPITRE IX.

De l’intégration des Equations contenant trois ou un plusgrand nombre de variables.

712. On a vu que les fonctions qui dépendent de deux ou d’un plusgrand nombre de variables , diffèrent de celles d’une seule ^ en ce qu’ellesont pour chaque ordre plusieurs coefficiens différentiels. Si z , parexemple, est une fonction de deux variables , il aura, pour le premier

ordre, deux coefficiens différentiels, savoir j l’un pris en fai-

sant varier x seul, et l’autre en faisant varier je seul : dans le secondordre le nombre des coefficiens différentiels s’élève à trois, et s’accroîtainsi successivement d’ordre en ordre ( 3 i). Pour remonter des coefficiensdifférentiels d’une fonction, de deux ou d’un plus grand nombre de va-riables, à celte fonction, il se présente plusieurs cas : 1°. on peut avoirtous ses coefficiens différentiels d’un même ordre exprimés par les va-riables indépendantes; 2 0 . la fonction elle-même peut entrer avec lesVariables indépendantes, dans les expressions des coefficiens différentiels;3°. enfin on peut n’avoir qu’une relation entre ces coefficiens , la fonctiondont ils dérivent et les variables indépendantes. Le premier de ces casayant été considéré à part dans le chapitre III de ce volume, ce sontles deux derniers qui vont nous occuper.

Intégration (îes('quations diffc-îles

Soit Pàx + Qcty- + Ràz = o ,

(quations <iiu

une équation entre trois variables; il convient d’abord d’examiner si elle remieiies _ iotasatisfait aux conditions d’intégrabilité (548) : dans ce cas, son premier <>tr ° 1S 'Membre étant une différentielle exacte, que je représenterai par d;/,onen tirera u = const.

713. Lorsque l’équation Pàx -f- Qdf -f- Ràz = o n’est pas une diffé-rentielle exacte , la première idée qui se présente est de chercher s’ilu est P as possible de la rendre telle , en la multipliant par un facteur.