602 CHAP. VIII. DE LA COMPARAISON DES TRANSCEND.

711. Voilà à peu près tout ce qu’on sait sur la comparaison des fonc-tions transcendantes. Elle tire son origine des recherches que le ge'o-mètre italien Eagnani a faites sur la rectification de la courbe nomméeleminiscate , dont l’équation est (pc* -f-j' 2 ) 2 = a % (a? 1 —j 2 ), et dont lafigure est celle d’un 8 couché sur l’axe des x.- L’arc de cette courbe

a pour expression — J' “ipL. - . , z désignant la distance d’un point

quelconque de la courbe à l’origine. Les lecteurs curieux de ces détailspourront consulter les écrits de Eagnani cités dans la table de ce volume,et les Exercices de Calcul intégral , par M. Legendre.

Ici, jemebornerai à observer quepour pousser la comparaison des fonc-tions transcendantes aussi loin qu’il est possible, il faudrait s’occuper decelles dontlesdifférentiellesnepeuventêtre exprimées par une seule varia-ble ; telle est, par exemple, la fonction y dans l’équation ày-{-by ,i àx~ax m àxdont il ne paraît pas qu’on puisse séparer les variables en général ( 565 ).Si l’on conçoit une nouvelle abscisse x', à laquelle corresponde la fonc-tion y', on aura encore à/' -f- by'*dx' = ctx' m àx' ; il serait bien impor-tant de chercher si l’on ne pourrait pas établir entre x et V-une relation,soit algébrique, soit par le moyen des arcs de cercle et des logarithmes,telle qu’il en résultât une de la même nature entre les fonctions y et y'.11 faudrait pour cela qu’en éliminant les variables X et X f , au moyende l’equation qui les lie l’une à l’autre, combinée avec les deux pré-cédentes, on parvînt à une équation intégrable entre les fonctions y, y'et leurs différentielles. Telle est à peu près la route qui semble devoirmener à des résultats importans sur les propriétés des fonctions trans-cendantes; mais pour pouvoir la suivre avec succès, il convient d’abordde perfectionner et d’abréger le procédé de l’élimination entre les équa-tions différentielles, et ensuite de chercher des méthodes pour recon-naître celles de ces équations dont l’intégrale peut s’obtenir par desfonctions algébriques , logarithmiques ou circulaires. La théoi’ie desséries que nous exposerons dans le Ti’aité des différences qui terminecet Ouvrage, nous donnera aussi des moyens pour connaître la naturede quelques transcendantes remarquables.